Εφαπτομένη που περνά από την αρχή των αξόνων

kostas136 · #1

Καλημέρα σε όλους. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[1,4]\rightarrow R$ για την οποία ισχύουν f(1)=2

και

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C_f

που να περνά από την αρχή των αξόνων.

hlkampel · #2

Θεωρώ τη συνάρτηση . $g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ . με $x \in \left[ {1,4} \right]$
Η g είναι συνεχής στο $\left[ {0,4} \right]$ ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο $\left( {1,4} \right)$ με $\displaystyle{g'\left( x \right) = \frac{{xf'\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}}}$
Επιπλέον είναι: $g\left( 1 \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1} = 2$ και $g\left( 4 \right) = \frac{{f\left( 4 \right)}}{4} = 2$
Από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ${x_0} \in \left( {1,4} \right)$ τέτοιο ώστε $g'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{{{x_o}f'\left( {{x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x_0^2}} = 0 \Rightarrow$
${x_o}f'\left( {{x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 0 \Rightarrow {x_o}f'\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ (1)
Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο $A\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ έχει εξίσωση:
$\displaystyle{y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \Rightarrow y = f\left( {{x_0}} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right) + xf'\left( {{x_0}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} y = xf'\left( {{x_0}} \right)}$ η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Σημείωση 1. Το ότι είναι δύο φορές παραγωγίσιμη δεν το χρειάστηκα.
Σημείωση 2. Έγινε μια μικρή διόρθωση με τους τόνους που "αλλαξαν" θέση.
Ευχαριστώ τον Chris για την επισήμανση.

kostas136 · #3

Ακριβώς Ηλία, έτσι την έλυσα και εγώ και καλό είναι να παρουσιαστεί η αντίστροφη πορεία ώστε να μην φανεί ουρανοκατέβατη η επιλογή της συνάρτησης για το Rolle. Και εμένα με παρεξένεψε το δεδομένο για την ύπαρξη της δεύτερης παραγώγου και την έγραψα στο

ώστε να δώ μήπως υπάρχει και άλλη λύση που το χρησιμοποιεί. Σε ευχαριστώ για την ενασχόληση.

hlkampel · #4

kostas136 έγραψε:Ακριβώς Ηλία, έτσι την έλυσα και εγώ και καλό είναι να παρουσιαστεί η αντίστροφη πορεία ώστε να μην φανεί ουρανοκατέβατη η επιλογή της συνάρτησης για το Rolle. Και εμένα με παρεξένεψε το δεδομένο για την ύπαρξη της δεύτερης παραγώγου και την έγραψα στο ώστε να δώ μήπως υπάρχει και άλλη λύση που το χρησιμοποιεί. Σε ευχαριστώ για την ενασχόληση.

Ας γράψω και το σκεπτικό της λύσης και πως εμφανίστηκε η συνάρτηση

.
Στο σημείο $A\left( {x_0 ,f\left( {x_0 } \right)} \right)$ της C_f

με $x_0 \in \left[ {1,4} \right]$ η εφαπτομένη έχει εξίσωση:
$y - f\left( {x_0 } \right) = f'\left( {x_0 } \right)\left( {x - x_0 } \right)$

Για να διέρχεται από την αρχή των αξόνων αρκεί οι συντεταγμένες του $O\left( {0,0} \right)$ να ικανοποιούν την εξίσωση, δηλαδή:

$- f\left( {x_0 } \right) = f'\left( {x_0 } \right)\left( { - x_0 } \right) \Rightarrow f'\left( {x_0 } \right) \cdot x_0 - f\left( {x_0 } \right) = 0\mathop \Rightarrow \limits^{x_0 \ne 0}$

$\frac{{f'\left( {x_0 } \right) \cdot x_0 - f\left( {x_0 } \right)}}{{x_0^2 }} = 0$ (1)
Όμως το πρώτο μέλος της (1) είναι η παράγωγος της $g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ στο σημείο x_0

.
Έτσι πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x_0

με $g'\left( {x_0 } \right) = 0$

#5

Γενικότερα
αν φ παραγωγίσιμη στο R και υπάρχει χορδή ΑΒ της φ στο δεξί ή αριστερό ημιεπίπεδο που να διέρχεται από το Ο υπάρχει και εφαπτομένη της φ που περνά από το Ο
ισχύει το αντίστροφο?(δικαιολογείστε)

Εφαπτομένη που περνά από την αρχή των αξόνων

Εφαπτομένη που περνά από την αρχή των αξόνων

Re: Εφαπτομένη που περνά από την αρχή των αξόνων

Re: Εφαπτομένη που περνά από την αρχή των αξόνων

Re: Εφαπτομένη που περνά από την αρχή των αξόνων

Re: Εφαπτομένη που περνά από την αρχή των αξόνων

Μέλη σε σύνδεση