Θέμα από Ν.Ζ.

S.E.Louridas · #1

Θέμα από βιβλίο του Νίκου Ζανταρίδη.

Να αποδειχθεί ότι
$a^a b^b c^c \geqslant a^b b^c c^a ,\;\forall a,b,c \in \mathbb{R}_ + ^ * .$

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:Θέμα από βιβλίο του Νίκου Ζανταρίδη.

Να αποδειχθεί ότι
$a^a b^b c^c \geqslant a^b b^c c^a ,\;\forall a,b,c \in \mathbb{R}_ + ^ * .$

S.E.Louridas

καλημέρα

$\displaystyle{\forall x \in \mathbb R \rightarrow e^{x-1}\geq x}$

άρα $\displaystyle{e^{\frac{a}{c}-1}\geq \frac{a}{c}>0\Rightarrow \boxed{ e^{a-c}\geq (\frac{a}{c})^c}}$ όμοια $\displaystyle{\boxed{e^{b-a}\geq (\frac{b}{a})^a},\ \boxed{e^{c-b}\geq (\frac{c}{b})^b}}$

πολλαπλασιάζοντας τις τρεις τελευταίες σχέσεις παίρνουμε το $\displaystyle{a^a b^b c^c \geqslant a^b b^c c^a} ,\;\forall a,b,c \in \mathbb{R}_ + ^ * .$

kwstas12345 · #3

Αρκεί $\displaystyle a^{a-b}b^{b-c}c^{c-a}\geqslant 1\Leftrightarrow \left(a-b \right)\ln a+\left(b-c \right)\ln b+\left(c-a \right)\ln c\geqslant 0$

Έστω $\displaystyle a\geqslant b \geqslant c$ . Τώτε η συνάρτηση $\displaystyle F\left(a \right)=\left(a-b \right)\ln a+\left(b-c \right)\ln b+\left(c-a \right)\ln c$ , $\displaystyle , F'\left(a \right)=\frac{a-b}{a}+\ln \frac{a}{c}\geqslant 0$

άρα είναι γνησίως αύξουσα και έτσι $\displaystyle F\left(a \right)\geqslant F\left(b \right)\Leftrightarrow F\left(a \right)\geqslant \left(b-c \right) \ln b+\left(c-b \right)\ln c\geqslant 0$

Αρκέι $\displaystyle \ln b \left(b-c \right)+\left(c-b \right)\ln c\geqslant 0$ Όμως $\displaystyle \ln b \left(b-c \right)+\left(c-b \right)\ln c\geqslant 0\Leftrightarrow \left(b-c \right)\ln \frac{b}{c}\geqslant 0$ που ισχύει.

#4

Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι $\displaystyle{a\geq b\geq c}$
Ας παρατηρηθεί, ότι η ζητούμενη ανισότητα είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας της αναδιάταξης στις ομοίως διατεταγμένες τριάδες $\displaystyle{(a,b,c),(\ln a,\ln b, \ln c)}$ .

Πράγματι, είναι τότε

$\displaystyle{a\ln a+b\ln b+c\ln c\geq b\ln a+c\ln b+a\ln c,}$

οπότε λαμβάνουμε τη ζητούμενη.

#5

Κώστα και Θάνο, πιστεύω πρέπει να ελέγξουμε και την περίπτωση $a \geqslant c \geqslant b$ διότι το δεξί μέλος δεν είναι συμμετρικό. (Και οι δυο αποδείξεις δουλεύουν και σε αυτήν την περίπτωση.)

Κώστα, υπάρχει ένα ακόμη πρόβλημα με την διατύπωση της λύσης σου. Θα την διατύπωνα ως εξής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $a = \max\{a,b,c\}$ . Έστω επίσης $d = \max\{b,c\}$ . Θα μελετήσουμε την συνάρτηση $F:[d,+\infty)$ με τον τύπο $F(x) = (x-b)\ln{x} + (b-c)\ln{b} + (c-x)\ln{c}$ κ.τ.λ.

#6

Demetres έγραψε:Κώστα και Θάνο, πιστεύω πρέπει να ελέγξουμε και την περίπτωση $a \geqslant c \geqslant b$ διότι το δεξί μέλος δεν είναι συμμετρικό. (Και οι δυο αποδείξεις δουλεύουν και σε αυτήν την περίπτωση.)

Δημήτρη, έχεις δίκιο όσον αφορά τη μη συμμετρικότητα. Ωστόσο, πιστεύω, ότι η απόδειξή μου είναι πλήρης γιατί:

Ας πούμε, ότι δεν υπάρχει καμία ανισότητα προς απόδειξη. Θεωρούμε τους αριθμούς $\displaystyle{a,b,c}$ και ας είναι $\displaystyle{a\geq b\geq c.}$ Τότε είναι $\displaystyle{\ln a\geq \ln b\geq \ln c.}$

και μετά εφαρμόζεται η ανισότητα της αναδιάταξης, οπότε προκύπτει η ζητούμενη.

#7

παρεμφερής 11Γ9 σελ 163εδώ

Θέμα από Ν.Ζ.

Θέμα από Ν.Ζ.

Re: Θέμα από Ν.Ζ.

Re: Θέμα από Ν.Ζ.

Re: Θέμα από Ν.Ζ.

Re: Θέμα από Ν.Ζ.

Re: Θέμα από Ν.Ζ.

Re: Θέμα από Ν.Ζ.

Μέλη σε σύνδεση