4 λύσεις

KARKAR · #1

Για ποιές τιμές του πραγματικού

, η εξίσωση : $\sqrt{\left|x^{2}-1 \right|}=a\left|x \right|$ , έχει

(πραγματικές) λύσεις ;

#2

Προφανώς η δοσμένη εξίσωση δεν έχει ρίζα για κάθε $\displaystyle{ \alpha < 0 }$ αφού τότε $\displaystyle{ \alpha \left| x \right| \leqslant 0,\forall x \in R\mathop \Rightarrow \limits^{\sqrt {\left| {x^2 - 1} \right|} \geqslant 0} \alpha \left| x \right| \leqslant 0 \leqslant \sqrt {\left| {x^2 - 1} \right|} }$ οπότε θα μπορούσε να προκύψει

μόνο η ισότητα για $\displaystyle{ x = 0 }$ η οποία όμως οδηγεί στο άτοπο $\displaystyle{ 1 = 0 }$ . Για $\displaystyle{ \alpha = 0 }$ η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{ \sqrt {\left| {x^2 - 1} \right|} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 }$ δύο λύσεις.

Αναγκαία λοιπόν συνθήκη για να έχει η δοσμένη εξίσωση 4 πραγματικές λύσεις είναι $\displaystyle{ \alpha > 0 }$

Με $\displaystyle{ \alpha > 0 \Leftrightarrow \sqrt {\left| {x^2 - 1} \right|} = \alpha \left| x \right|\mathop \Leftrightarrow \limits^{\sqrt {\left| {x^2 - 1} \right|} ,\alpha \left| x \right| \geqslant 0,\forall x \in R} \left( {\sqrt {\left| {x^2 - 1} \right|} } \right)^2 = \left( {\alpha \left| x \right|} \right)^2 \Leftrightarrow \left| {x^2 - 1} \right| = \alpha ^2 x^2 \mathop \Leftrightarrow \limits^{\alpha ^2 x^2 \geqslant 0} \left\{ \begin{gathered} x^2 - 1 = \alpha ^2 x^2 \\ \vee \\ x^2 - 1 = - \alpha ^2 x^2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \left( {1 - \alpha ^2 } \right)x^2 = 1 \\ \vee \\ \left( {1 + \alpha ^2 } \right)x^2 = 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \alpha \delta \nu \alpha \tau \eta ,\forall \alpha \in \left[ {1, + \infty } \right) \hfill \\ \ldots x = \pm \frac{1} {{\sqrt {1 - \alpha ^2 } }},\forall \alpha \in \left( {0,1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \vee \\ \ldots x = \pm \frac{1} {{\sqrt {1 + \alpha ^2 } }},\forall \alpha \in R \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{x = \pm \frac{1} {{\sqrt {1 - \alpha ^2 } }},x = \pm \frac{1} {{\sqrt {1 + \alpha ^2 } }}},\forall \boxed{\alpha \in \left( {0,1} \right)} }$

και μία απορία: Γιατί είναι στο φάκελο της Γ' Λυκείου και μάλιστα και στην κατεύθυνση;!!!

Στάθης

KARKAR · #3

Για την ( δικαιολογημένη ) απορία του Στάθη .

Κοιτάζοντας το σχήμα λόγω αρτιότητας των δύο συναρτήσεων , αρκεί η εξίσωση να έχει δύο λύσεις για x>0

.

Αλλά για την : $f(x)=\sqrt{\left|x^2-1 \right|}$ , στο $(1,+\infty)$ έχω : $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1 }}>1$ δηλαδή

γν. αύξουσα

και η y=x

πλάγια ασύμπτωτη της

, οπότε για $a\geq 1$ οι f , g

θα έχουν μόνο ένα κοινό σημείο για $x\in(0,+\infty)$ ,

συγκεκριμένα για $x\in(0, 1)$ κ.λ.π.

4 λύσεις

4 λύσεις

Re: 4 λύσεις

Re: 4 λύσεις

Μέλη σε σύνδεση