Διαφορι-κούλα 49

mathxl · #1

Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης $f:\left( {0, + \infty } \right) \to R$ για την οποία ισχύουν $\displaystyle\ f'\left( x \right) + \frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 1,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right),f\left( 1 \right) = e$

#2

mathxl έγραψε:Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης $f:\left( {0, + \infty } \right) \to R$ για την οποία ισχύουν $\displaystyle\ f'\left( x \right) + \frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 1,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right),f\left( 1 \right) = e$

$\displaystyle{\ f'\left( x \right) + \frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 1\Rightarrow f{'}(x)+\left(-\frac{1}{x}-2\ln x\right){'}f(x)=1\Rightarrow}$

$\displaystyle{f{'}(x)e^{-1/x-2\ln x}+f(x)e^{-1/x-2\ln x}\left(-\frac{1}{x}-2\ln x\right){'}=e^{-1/x-2\ln x}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\left(f(x)e^{-1/x-2\ln x}\right){'}=\frac{e^{-1/x}}{x^2}\Rightarrow \left(f(x)e^{-1/x-2\ln x}\right){'}=\left(e^{-1/x}\right){'}\Rightarrow}$

$\displaystyle{f(x)\frac{e^{-1/x}}{x^2}=e^{-1/x}+c\,\,\forall\,\,x\in(0,+\infty)\stackrel{f(1)=e\Rightarrow c=\frac{e-1}{e}}{\Rightarrow}f(x)=x^2\left(1+e^{1/x-1}(e-1)\right)}$ , που επαληθεύει την δοθείσα σχέση αν και δεν τόκανα...

Ανήκει στην κατηγορία των διαφορικών που λύνονται με τη μέθοδο του ολοκληρωτικού παράγοντα. Οριακά την πρόλαβα στο σχολικό βιβλίο όταν ήμουν Γ λυκείου.

mathxl · #3

Όταν την λύνουμε γρήγορα έχουμε ακόμη μία δώρο...
$\displaystyle{xf'\left( x \right) - \frac{{f\left( x \right)}}{{x + 1}} = x,x > 0,f\left( 1 \right) = 0}$

Επίσης να πω ότι είναι ελαφρώς καλύτερη (στα δικά μου μάτια) η $\displaystyle{f'\left( x \right) + \frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 0,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right),f\left( 1 \right) = e}$

Νασιούλας Αντώνης · #4

mathxl έγραψε:Όταν την λύνουμε γρήγορα έχουμε ακόμη μία δώρο...
$\displaystyle{xf'\left( x \right) - \frac{{f\left( x \right)}}{{x + 1}} = x,x > 0,f\left( 1 \right) = 0}$

Μια προσπάθεια:

Διαιρώντας με το

-αφού

- έχουμε:

$\displaystyle{f'(x)-\frac{f(x)}{x(x+1)}=1\Leftrightarrow f'(x)+\left(ln(x+1)-lnx \right)'f(x)=1\Leftrightarrow e^{ln(x+1)-lnx}f'(x)+ e^{{ln(x+1)-lnx}}\left({ln(x+1)-lnx \right)'f(x)=e^{{ln(x+1)-lnx}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(f(x) e^{{ln(x+1)-lnx} \right)'=e^{ln\frac{x+1}{x}}=\frac{x+1}{x}=\left(lnx+x\right)' \Leftrightarrow f(x) e^{ln(x+1)-lnx}=f(x)\frac{x+1}{x}=x+lnx+c}$

Θέτοντας όπου x το 1 έχουμε: c=-1

και τελικά έχουμε:

$\displaystyle{\boxed{f(x)=\frac{x(x+lnx-1)}{x+1}}$ .

Ελπίζω να μην ξέφυγε κάτι

edit: τώρα που το βλέπω κάτι έχει ξεφύγει σε ένα πρόσιμο...το διορθώνω αμέσως
edit: νομίζω τώρα είναι σωστό.

vanalex · #5

mathxl έγραψε:Όταν την λύνουμε γρήγορα έχουμε ακόμη μία δώρο...
$\displaystyle{xf'\left( x \right) - \frac{{f\left( x \right)}}{{x + 1}} = x,x > 0,f\left( 1 \right) = 0}$

Γεια σου Βασίλη με τις Διαφορικάρες σου!

Μια προσπάθεια:

Για x > 0: $\displaystyle{xf{'}(x)-\frac{f(x)}{x+1}=x\Leftrightarrow f{'}(x)-\frac{1}{x\left(x+1 \right)}f(x)=1\; \; (1)}$ .

$\diasplaystyle{\int \frac{1}{x\left(x+1 \right)}dx=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x+1}dx=ln\left|x \right|-ln\left|x+1 \right|=lnx-ln\left(x+1 \right)=ln\frac{x}{x+1}}$ αφού x > 0.

Πολλαπλασιάζοντας τώρα την (1) με τον όρο $\displaystyle{e^{-ln\frac{x}{x+1}}}$ έχουμε:

$\displaystyle{e^{-ln\frac{x}{x+1}}f{'}(x)+\left( e^{-ln\frac{x}{x+1}}\right)'f(x)=e^{-ln\frac{x}{x+1}}\Leftrightarrow \left(e^{-ln\frac{x}{x+1}}f(x) \right)'=\frac{x+1}{x}\Leftrightarrow \left(e^{-ln\frac{x}{x+1}}f(x) \right)'=\left(x+lnx \right)'\Leftrightarrow \frac{x+1}{x}f(x)=x+lnx+c\; \; (2)}$

Θέτοντας στην (2) x = 1:

$\displaystyle{2f(1)=1+ln1+c\Leftrightarrow \boxed{c=-1}}$ . Άρα η (2) τελικά γίνεται:

$\displaystyle{\frac{x+1}{x}f(x)=x+lnx-1\Leftrightarrow \left(x+1 \right)f(x)=x^{2}+xlnx-x\Leftrightarrow \boxed{f(x)=\frac{x^{2}+xlnx-x}{x+1}}}$

Ο γρήγορος Αντώνης με πρόλαβε αλλά την αφήνω... Καλό βράδυ!

mathxl · #6

Αντώνη

Λίγο διαφορετικά
$\displaystyle{xf'\left( x \right) - \frac{{f\left( x \right)}}{{x + 1}} = x \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^2}f'\left( x \right) + xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = {x^2} + x \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{f'\left( x \right) + \frac{{xf'\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left( {f\left( x \right) + \frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = {\left( {x + \ln x} \right)^\prime } \Leftrightarrow f\left( x \right)\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) = x + \ln x + c}$
κτλ
ΥΓ: Μόλις είδα ότι απάντησε και ο Αλέξης. Αλέξη ας αφήσουμε τα αόριστα

εκτός λυκείου. Βέβαια η παράθεση και ακόμη ενός τρόπου είναι πάντα ωφέλιμη

vanalex · #7

mathxl έγραψε: Αλέξη ας αφήσουμε τα αόριστα εκτός λυκείου. Βέβαια η παράθεση και ακόμη ενός τρόπου είναι πάντα ωφέλιμη

Έχεις δίκιο Βασίλη..

Καλό βράδυ!

mathxl · #8

Για την άσκηση που έλυσε ο Τάσος με 2ο μέλος 0 έχουμε και το εξής

$\displaystyle{f'\left( x \right) + \frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^2}f'\left( x \right) + f\left( x \right) - 2xf\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^2}f'\left( x \right) - {\left( {{x^2}} \right)^\prime }f\left( x \right) = - f\left( x \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{{x^2}f'\left( x \right) - {{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }f\left( x \right)}}{{{x^4}}} = - \frac{1}{{{x^2}}} \cdot \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime }\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{e^{\frac{1}{x}}}{\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime } - {\left( {{e^{\frac{1}{x}}}} \right)^\prime }\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}}}{{{e^{\frac{1}{x}}}}}} \right)^\prime } = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = c{x^2}{e^{\frac{1}{x}}}}$

κτλ

Διαφορι-κούλα 49

Διαφορι-κούλα 49

Re: Διαφορι-κούλα 49

Re: Διαφορι-κούλα 49

Re: Διαφορι-κούλα 49

Re: Διαφορι-κούλα 49

Re: Διαφορι-κούλα 49

Re: Διαφορι-κούλα 49

Re: Διαφορι-κούλα 49

Μέλη σε σύνδεση