όριο

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{ \mathop{\lim }\limits_{x\to 0}\frac{{e^{x}-e^{\tan (x)}}}{{x-\tan (x)}} }$

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{ \mathop{\lim }\limits_{x\to 0}\frac{{e^{x}-e^{\tan (x)}}}{{x-\tan (x)}} }$

Για κάποιο $\xi$ μεταξύ των $x, \, \tan x$ το ΘΜΤ δίνει

$\displaystyle{ \mathop{\lim }\limits_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{\tan (x)}}{x-\tan (x) } =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}\frac{e^{\xi}( x-\tan x)}{x-\tan x } =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0}e^{\xi} = 1$ . (Το $\xi$ τείνει στο

από ισοσυγκλίνουσες καθώς τείνουν στο

τα "άκρα" του $x, \, \tan x$ )

Φιλικά,

Μιχάλης

Christos.N · #3

Καλησπέρα Βασίλη και σε όλο το

Μια μικρή μετατροπή, $\displaystyle{\frac{{{e^x} - {e^{\tan (x)}}}}{{x - \tan (x)}} = {e^x}\frac{{{e^{\tan (x) - x}} - 1}}{{\tan (x) - x}}}$

Υπολογίζουμε:
$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^x} = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\tan (x) - x}} - 1}}{{\tan (x) - x}}\mathop = \limits^{\tan (x) - x = u} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{e^u} - 1}}{u}\mathop = \limits_{dL'H.}^{\frac{0}{0}} 1 \\ \end{array}}$
και στη συνέχεια, $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{\tan (x)}}}}{{x - \tan (x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^x}\frac{{{e^{\tan (x) - x}} - 1}}{{\tan (x) - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^x}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\tan (x) - x}} - 1}}{{\tan (x) - x}} = 1}$

Έχω κάποιες αμφιβολίες όμως.

mathxl · #4

Πολύ όμορφες και οι δύο λύσεις. Έχω δει την λύση του Χρήστου, απλά αντί να κάνουμε DLH μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου σε σημείο.

Christos.N · #5

mathxl έγραψε: αντί να κάνουμε DLH μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου σε σημείο.

Ή την εφαρμογή-άσκηση ότι: $\displaystyle{{e^x} \ge x + 1}$

#6

Ας βρούμε και αυτό : $\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\left(\frac{e^x-e^{\tan x}}{x- \tan x}-1\right)}$ .

mathxl · #7

Στην ουσία αυτό που κάναμε ήταν να μελετήσουμε ως προς την συνέχεια στο 0, την συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{e^x} - {e^{\tan x}}}}{{x - \tan x}},x \ne 0} \\ {1,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)} \\ \end{array}} \right.}$
και τώρα ο Τάσος μας καλεί να την μελετήσουμε ως προς την παραγωγισιμότητα στο 0, διότι
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\left( {\frac{{{e^x} - {e^{\tan x}}}}{{x - \tan x}} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right) - g\left( 0 \right)}}{{x - 0}}}$

#8

Ακριβώς. Και ο αριθμός που ζητάμε είναι ο δεύτερος συντελεστής στο ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης που γράφεις,

όριο

όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Μέλη σε σύνδεση