Μιγαδικοί με παραγώγους

PanosG · #1

Δίνεται ο μιγαδικός $z=a+bi \quad a,b\in \mathbb{R}$ με |z|=2

. Έστω η συνάρτηση $f(x)=|x+z| \quad x \in \mathbb{R}$ , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$
Να δείξετε ότι

α) ο μιγαδικός

δεν είναι πραγματικός

β) η εξίσωση |x+z|=3^x

έχι τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1)

Θα αναφέρω αργότερα την πηγή

Γιώργος Απόκης · #2

Ωραία άσκηση!

α) Έστω ότι $z=a\in \mathbb R$ . Τότε $\displaystyle{f(x)=|x+a|=\begin{cases}x+a,~x\geq -a \\ -x-a,~x< -a \end{cases}}$ , η οποία

(με χρήση του ορισμού της παραγώγου δεξιά και αριστερά του

) προκύπτει μη παραγωγίσιμη, άτοπο από υπόθεση. Άρα, ο

δεν είναι πραγματικός.

β) Θεωρώ τη συνάρτηση $g(x)=|x+z|-3^x,~x\in \mathbb R$ η οποία είναι συνεχής στο [0,1]

ως διαφορά παραγωγίσιμων. Επιπλέον, έχουμε:

f(0)=|z|-3^0=2-1=1>0

και $f(1)=|1+z|-3^1\color{red}<\color{black} |1|+|z|-3=0$ (ισχύει αυστηρή ανισότητα αφού ο

δεν είναι πραγματικός).

Άρα, από το Θ. Bolzano, η g(x)=0

(άρα και η ισοδύναμη δοσμένη) έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1)

#3

α) Έστω ότι ο

είναι πραγματικός.
Τότε b=0

και

, όπου
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -a^+}\frac{f(x)-f(-a)}{x+a}=1\neq\lim_{x \rightarrow -a^-}\frac{f(x)-f(-a)}{x+a}=-1}$ , ΑΤΟΠΟ,
άρα ο

δεν είναι πραγματικός.

β) Έχουμε: |z|^2=a^2+b^2=4

και

, αφού από το (α) ερώτημα $b \neq 0$ ,
$\displaystyle{f(x)=\sqrt{(x+a)^2+b^2}=\sqrt{x^2+2ax+a^2+b^2}=\sqrt{x^2+2ax+4}$ .
Έστω $g(x)=f(x)-3^x, x \in \mathbb{R}$ .

H

είναι συνεχής στο [0,1]

ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων (*),
g(0)=1>0

και $g(1)=\sqrt{2a+5}-3<0$ ,
αφού $2a+5<9 \Leftrightarrow a<2$ ,
οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της g(x)=0

στο

, άρα και της f(x)=3^x

στο

.

(*) Θέλει λίγο περισσότερη δικαιολόγηση

.

Υ.Γ. Γιώργος ο άσπρος σίφουνας

Πότε πρόλαβες να την γράψεις βρε θηρίο;;

Γιώργος Απόκης · #4

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Υ.Γ. Γιώργος ο άσπρος σίφουνας Πότε πρόλαβες να την γράψεις βρε θηρίο;;

Κάνω...

!!!

PanosG · #5

Ταχύτατοι και οι δυο.
Η άσκηση είναι από συνήθη ύποπτο. Από το Θέματα Μαθηματικών Γ.Μπαϊλάκης

Μιγαδικοί με παραγώγους

Μιγαδικοί με παραγώγους

Re: Μιγαδικοί με παραγώγους

Re: Μιγαδικοί με παραγώγους

Re: Μιγαδικοί με παραγώγους

Re: Μιγαδικοί με παραγώγους

Μέλη σε σύνδεση