Διαφορι-Κούλα 58

mathxl · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 1}$ και τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{f'\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) = f\left( x \right)}$
για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ . Να βρείτε τον τύπο της. Καλό μεσημεράκι

και αυτή δική μου κατασκευή...δεν σημαίνει ότι είναι πρωτότυπη

#2

Μία σκέψη.
Η διαφορική γράφεται και

$\displaystyle{ f'(x) + f(x)(f(x) - 1) = 0 \Rightarrow (f(x)e^{\int\limits_0^x {(f(t) - 1)dt} } )' = 0 \Rightarrow f(x)e^{\int\limits_0^x {(f(t) - 1)dt} } = c\mathop \Rightarrow \limits^{f(0) = 1} f(x) = e^{ - \int\limits_0^x {(f(t) - 1)dt} } ,\forall x \in R }$

ή και

$\displaystyle{ f(x)e^{\int\limits_0^x {f(t)dt} } = e^x ,\forall x \in R \Rightarrow \left( {e^{\int\limits_0^x {f(t)dt} } } \right)' = (e^x )' \Rightarrow e^{\int\limits_0^x {f(t)dt} } = e^x + c }$

απ'όπου εύκολα $\displaystyle{ c = 0 }$
'Αρα

$\displaystyle{ e^{\int\limits_0^x {f(t)} dt} = e^x ,\forall x \in R \Rightarrow \int\limits_0^x {f(t)dt} = x,\forall x \in R }$
Απ'όπου παραγωγίζοντας έχουμε

$\displaystyle{ f(x) = 1,\forall x \in R }$
Η συνάρτηση είναι δεκτή μιάς και επαληθεύει την διαφορική.
(Από την αρχή είχαμε ψυλλιαστεί πως πρόκειται για τη συγκεκριμένη...)

mathxl · #3

Η λύση μου είναι σχεδόν ίδια με αυτή του Χρήστου.
Έστω $\displaystyle{F\left( x \right) = \int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} ,x \in R}$ μια αρχική της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{R}$

Έχουμε
$\displaystyle{f'\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( x \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{f'\left( x \right){e^{F\left( x \right)}} + f\left( x \right)f\left( x \right){e^{F\left( x \right)}} = f\left( x \right){e^{F\left( x \right)}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{f'\left( x \right){e^{F\left( x \right)}} + f\left( x \right){\left( {{e^{F\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{F\left( x \right)}}} \right)^\prime } \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left( {f\left( x \right){e^{F\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{F\left( x \right)}}} \right)^\prime } \Leftrightarrow f\left( x \right){e^{F\left( x \right)}} = {e^{F\left( x \right)}} + c}$

Για $\displaystyle{x = 0}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{c = 0}$

Έτσι λοιπόν με αντικατάσταση έχουμε
$\displaystyle{f\left( x \right){e^{F\left( x \right)}} = {e^{F\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1}$

Για να έχει νόημα η άσκηση σε αυτόν τον φάκελο καλό είναι να δίνεται στην εκφώνηση ότι η συνάρτηση που δόθηκε έχει ως αρχική την

#4

Θέτω $\displaystyle{y(x)=f(x)-\frac{1}{2}}$ τότε η ΔΕ γίνεται $\displaystyle{y'(x)+y^2(x)=(\frac{1}{2})^2}$ οπότε με $\displaystyle{b=1/2}$ δείτε εδώ

Διαφορι-Κούλα 58

Διαφορι-Κούλα 58

Re: Διαφορι-Κούλα 58

Re: Διαφορι-Κούλα 58

Re: Διαφορι-Κούλα 58

Μέλη σε σύνδεση