Διαφορι-Κούλα 59

mathxl · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ με $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 2,f'\left( 1 \right) = 1}$ που είναι τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{2xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = \ln f'\left( x \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)}$

GMANS · #2

Βασίλη μαζί με την καλημέρα μου
μια απόπειρα …

Πρέπει και f '(x)>0

Παραγωγίζοντας την δοσμένη σχέση έχω

$f '(x)+2xf ''(x)=\frac{f ''(x)}{f '(x)}\Rightarrow$
$(f '(x))^2+2xf '(x)f ''(x)=f ''(x)\Rightarrow (x(f '(x))^2)'=(f '(x))'$

άρα υπάρχει σταθερά

$c\epsilon R$ ώστε

x(f '(x))^2=f '(x)+c

για

έχω

οπότε

$f '(x)=\frac{1}{x}$ άρα υπάρχει σταθερά $k\epsilon R$ ώστε

f(x)=lnx+k

όμως

και τελικά

f(x)=lnx+2

που επαληθεύει τη δοσμένη

mathxl · #3

Τις καλημέρες μου Γιώργο

έχουμε ίδια λύση

Θωμάς Ποδηματάς · #4

Φίλε Mathxl εξαιρετική άσκηση!

Μόλις την είδα...

Η παρατήρησή μου - απορία, είναι η εξής :
Όταν λύνουμε μία ολοκληρωτική εξίσωση την οποία πρώτα παραγωγίζουμε (ώστε να "φύγει" το ολοκλήρωμα) ΠΡΟΦΑΝΩΣ χαλάει η ισοδυναμία που είναι εκ των ων ουκ άνευ στις εξισώσεις. Όμως, όπως πολύ εύστοχα ο Δάσκαλος Θ.Ν. Καζαντζής επισημαίνει -
πρόβλημα 256 σελ. 364 στο βιβλίου ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ, το οποίο παραθέτω :
"Να βρεθεί συνάρτηση $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής , για κάθε $x \geq 0$ και τέτοια ώστε να ικανοποιεί τη σχέση :

$\displaystyle{x+ \int_{0}^{x}{f(t)dt}=\left(1+x\right)f(x),\forall x \in [0,+\infty)}$ " -

η ισοδυναμία διατηρείται κατά την παραγώγιση αν χρησιμοποιήσουμε την αρχική σχέση για κάποιο x_0

. Οι παρατηρήσεις μου - απορίες λοιπόν είναι :

1. Εσύ δίνεις ότι f(1)=2

, το οποίο όμως προκύπτει από τη δοσμένη για x=1

, με δεδομένο ότι f{'}(1)=1

. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η παραγώγιση είναι ισοδυναμία και δεν χρειάζεται έλεγχος για το αν το τελικό αποτέλεσμα $\displaystyle{f(x)=2+lnx}$ ικανοποιεί την αρχική δοσμένη. Τουλάχιστον έτσι νομίζω και αν κάνω λάθος παρακαλώ πολύ διόρθωσέ με...

2. Γενικά όταν λύνουμε μία άσκηση όπως η παραπάνω του Δάσκαλου Καζαντζή, πρέπει να λέμε στους μαθητές μας τα σωστά (

) ή να αποκρύπτουμε μέρος της μαθηματικής αλήθειας στο βωμό του να μας καταλάβουν όσο γίνεται περισσότεροι ;;;

Σε συζήτηση που είχα για το θέμα αυτό πριν λίγα χρόνια στη Θεσσαλονίκη με τον εκλεκτό συνάδελφο, Δάσκαλο και φίλο Κ. Γκατζούλη, υπήρξε προτροπή προς την απόκρυψη ... Άλλωστε η ίδια άσκηση είναι λυμένη και στο βιβλίο του "Ολοκληρωτικός Λογισμός" χωρίς να γίνεται καμία αναφορά στο αντίστροφο...

Προσωπικά, λέω στους μαθητές μου, ΚΑΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΜΟΥ, πριν από τέτοια άσκηση να αποδεικνύουν το λήμμα :
"Έστω $f,g:D\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμες στο ΔΙΑΣΤΗΜΑ

. Τότε ισχύει η ισοδυναμία :
$\displaystyle{f(x)=g(x),\forall x \in D \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f{'}(x)=g{'}(x),\forall x \in D\\ \kappa \alpha \iota \\ \exists x_0 \n D : f(x_0)=g(x_0) & \end{matrix}\right.}}$ "
του οποίου η απόδειξη είναι πολύ μικρή και εύπεπτη από το σύνολο σχεδόν των μαθητών. Πρέπει όμως να το κάνω αυτό ή είναι υπερβολή ;

Θερμά παρακαλώ για μία απάντηση... Σε όποιον και έθεσα το θέμα χρόνια τώρα δεν πήρα σαφή απάντηση...

Φιλικά, Θωμάς

mathxl · #5

Για το 1
Eίναι εύστοχη η παρατήρηση του πλεονασμού δεδομένων μιας και η τιμή στο 1 μπορεί να προκύψει από την τιμή της παραγώγου όπως έγραψες. Για μέρος του 1 και του 2, σου γράφω αυτό που λέω στους μαθητές μου. Να βάζουν ισοδυναμίες όταν χρησιμοποιούν συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής (εύκολα αποδεικνύεται το αντίστροφο στην παράδοση). Όταν χρησιμοποιούν την αρχική συνθήκη κάνουν έμμεσα επαλήθευση διότι βρίσκουν το κατάλληλο $\displaystyle{c}$ για να ικανοποιείται η αναγκαία αυτή συνθήκη (από τις άπειρες συναρτήσεις που προκύπτουν για $\displaystyle{c}$ πραγματικό, επιλέγουν αυτήν που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη), δηλαδή βρίσκουν την ζητούμενη συνάρτηση. Όταν γράφεις "η ισοδυναμία διατηρείται κατά την παραγώγιση αν χρησιμοποιήσουμε την αρχική σχέση για κάποιο χο" Εννοείς το παραπάνω ή ότι θα βάλουμε ισοδυναμίες όταν παραγωγίσουμε;

Για άυτό που ρωτάς στο 2, νομίζω εξαρτάται κάθε φορά από τους μαθητές που έχεις απέναντι. Αν το επίπεδο είναι χαμηλό το αποκρύπτεις (θα προκαλέσει περισσότερο σύγχυση), ειδάλλως δίνεις την δυνατότητα να δουν το γιατί. Το λήμμα που αναφέρεις, ναι είναι ένας ασφαλής τρόπος απότι βλέπω. Ωστόσο είναι κάτι που δεν δουλεύω.

Έψαχνα για δύο δημοσιεύσεις ανεπιτυχώς εξού και η καθυστερημένη απάντηση.

Καλημέρα!

Θωμάς Ποδηματάς · #6

Βασίλη, εννοώ ότι αν χρησιμοποιήσω την αρχική σχέση για κάποιο x_0

τότε ισχύει και το αντίστροφο κατά τη διαδικασία της παραγώγισης, υπό την έννοια ότι από τις άπειρες που προκύπτουν βρίσκουμε αυτή που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη, δηλαδή τη δοσμένη σχέση, και έτσι ΔΕΝ χρειάζεται επαλήθευση (δηλαδή το να ελέγξω αν αυτή που βρήκα ικανοποιεί την αρχική σχέση). Αυτό άλλωστε λέει και το λήμμα που ανέφερα. Στην θεμελιώδη ερώτηση "ΑΝ ΤΟ ΛΕΜΕ" μου απάντησες και ευχαριστώ πολύ για αυτό.

Καλημέρα και καλή δουλειά

Φιλικά, Θωμάς

Διαφορι-Κούλα 59

Διαφορι-Κούλα 59

Re: Διαφορι-Κούλα 59

Re: Διαφορι-Κούλα 59

Re: Διαφορι-Κούλα 59

Re: Διαφορι-Κούλα 59

Re: Διαφορι-Κούλα 59

Μέλη σε σύνδεση