Μονοτονία συνάρτησης

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

Δίνεται συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο $\left [a,b\right],~~$ με

γνησίως αύξουσα στο $\left (a,b\right)$ .
Αν $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} ~~, ~~x \in\left (a,b\right)$ , να δειχτεί ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left (a,b\right)$ .

#2

$\displaystyle{ g'\left( x \right) = \left( {\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}} {{x - a}}} \right)^\prime = \frac{{f'\left( x \right)\left( {x - a} \right) - \left( {f\left( x \right) - f\left( a \right)} \right)}} {{\left( {x - a} \right)^2 }} }$

$\displaystyle{ \left[ {a,x} \right]\mathop \Rightarrow \limits^{\Theta .{\rm M}.{\rm T}} \exists \xi \in \left( {a,x} \right):f'\left( \xi \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}} {{x - a}} \Rightarrow f\left( x \right) - f\left( a \right) = \left( {x - a} \right)f'\left( \xi \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} }$

$\displaystyle{ g'\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right)\left( {x - a} \right) - \left( {x - a} \right)f'\left( \xi \right)}} {{\left( {x - a} \right)^2 }} = \frac{1} {{x - a}}\left[ {f'\left( x \right) - f'\left( \xi \right)} \right] }$

$\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{\xi \in \left( {a,x} \right) \Rightarrow x > \xi \xrightarrow{{f(\gamma \nu \eta \sigma \omega \varsigma - \alpha \xi o\upsilon \sigma \alpha - \sigma \tau o - \left( {a,b} \right)}}f'\left( x \right) > f'\left( \xi \right) \Rightarrow \boxed{f'\left( x \right) - f'\left( \xi \right) > 0},x \in \left( {a,b} \right) \Rightarrow \boxed{x - a > 0}} g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {a,b} \right) \Rightarrow g }$ γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ \left( {a,b} \right) }$

Στάθης

#3

Η

είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο εν λόγω διάστημα με

$\displaystyle{ g'(x) = \frac{{f'(x)(x - a)-(f(x) - f(a)}}{{(x - a)^2 }}:(1) }$
Αν δουλέψω με Θ.Μ.Τ στο $\displaystyle{ (a,x) \subseteq (a,b) }$ προκύπτει: $\displaystyle{ f(x) - f(a) = f'(\xi )(x - a),a < \xi < x }$
Αντικαθιστώντας στην (1)

έχω:

$\displaystyle{ g'(x) = \frac{{(x - a)(f'(x) - f'(\xi ))}}{{(x - a)^2 }} = \frac{{f'(x) - f'(\xi )}}{{x - \alpha }} > 0 }$
(Είναι $\displaystyle{ \xi < x\mathop \Rightarrow \limits^{f' \uparrow } f'(\xi ) < f'(x) }$ )
Επομένως η δοθείσα συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα στο εν'λόγω διάστημα.

#4

NIZ έγραψε:Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\left [a,b\right],~~$ με γνησίως αύξουσα στο $\left (a,b\right)$ .
Αν $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} ~~, ~~x \in\left (a,b\right)$ , να δειχτεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο $\left (a,b\right)$ .

Υπάρχει $\xi \in (a, x)$ με

$\displaystyle g{'}(x) = \left( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \right) {'} = \frac {f{'}(x)(x-a) - (f(x)-f(a))}{(x-a)^2}=$

$\displaystyle \frac {(f{'}(x)-f{'}(\xi))(x-a) }{(x-a)^2} >0$ (διότι f{'}

γνήσια αύξουσα) . Άρα

γνήσια αύξουσα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ουπς. Με πρόλαβαν δις

killbill · #5

Ισχύει ότι (;)
Αν f'( x_0

)>0 , τότε η f είναι αύξουσα σε μια περιοχή του x_0

(και αντίστοιχα για την φθίνουσα)
Απόδειξη

αφού f'( x_0

)>0 τότε $\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}>0$

άρα υπάρχει περιοχή του x_0

όπου ${\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}>0$

Για να είναι το παραπάνω κλάσμα θετικό, για χ< x_0

είναι f(x)<f( x_0

), ενώ για x> x_0

είναι f(x)>f( x_0

).

υπάρχει κάπου λάθος;

απλά έχω βρει σε βιβλίο την παρατήρηση, ότι δεν ισχύει απαραίτητα ότι αν η παράγωγος σε σημείο είναι θετική τότε σε μια περιοχή του θα είναι και η συνάρτηση αύξουσα, και ότι για να ισχύει αυτό θα πρέπει η παράγωγος στο x_0

να είναι συνεχής, αλλά δεν βλέπω γιατί να πρέπει να ισχύει αυτό

#6

killbill, αυτό που έχεις δείξει είναι ότι αν η

είναι παραγωγίσιμη στο x_0

με $f{'}(x_0) > 0$ τότε υπάρχει περιοχή

του

ώστε

για κάθε $x \in D$ με x > x_0

και

για κάθε $x \in D$ με x < x_0

. Αυτό όμως δεν σημαίνει πως η

είναι (γνησίως) αύξουσα στο

. Μπορεί π.χ. να υπάρχουν $x,y \in D$ με x > y

αλλά

.

Ένα παράδειγμα (μη σχολικό) συνάρτησης που είναι παραγωγίσιμη στο 0 με θετική παράγωγο χωρίς να είναι σε καμιά περιοχή του αύξουσα είναι η εξής

$\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x + 2x^2\sin(1/x) & x \neq 0, \\ 0 & x = 0.\end{cases}}$

Πρέπει να το έχουμε ξανασυζητήσει κάπου στο φόρουμ.

killbill · #7

Έχεις δίκιο. έχω κάνει λάθος συλλογισμό όσον αφορά την μονοτονία.

Τώρα καταλαβαίνω και την παρατήρηση του βιβλίου ότι δηλαδή αν f'( x0)>0 και η f' συνεχής στο χ0 τότε υπάρχει περιοχή του x0 όπου η f είναι αύξουσα.

και αυτό γιατί λόγω της συνέχειας της 1ης παραγώγου στο x0, θα έχουμε ότι $\lim_{x \rightarrow x_0} {f'(x)}=f'(x_0)>0$ και άρα υπάρχει περιοχή του χ0 όπου f'(x)>0 και άρα αύξουσα!

Μονοτονία συνάρτησης

Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση