Ύπαρξη γ

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Καλημέρα και καλό Σ-Κ σε όλους .
Σκέφτηκα να τοποθετήσω την άσκηση στα θέματα με απαιτήσεις αλλά ας τη δούμε πρώτα και μετά όλα είναι εύκολα ...

Έστω $\displaystyle{\displaystyle F:\Re \to \Re }$ αρχική της $\displaystyle{\displaystyle f:\Re \to \Re }$ . Αν $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {F(x) - x} \right) = a \in \Re }$ και $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {F(x) - x} \right) = \beta \in \Re }$ , να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\displaystyle \gamma \in \Re }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\displaystyle f(\gamma ) = \gamma }$ .

hsiodos · #2

Καλημέρα
Χρήστο ξέρουμε αν η f είναι συνεχής;

Γιώργος

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Όχι Γιώργο δε δίνεται κάτι τέτοιο ...

#4

Η συγκεκριμένη άσκηση μας είχε απασχολήσει και στο παλιό mathematica. Την είχε θέσει ο Θωμάς Ραικόφτσαλης φεύγοντας για διακοπές. Εμένα οι διακοπές μου αργούσαν να αρχίσουν οπότε μη έχοντας ταξίδι μπροστά μου είχα γράψει την ακόλουθη λύση:

Ας ονομάσουμε g(x)=x^2/2-F(x). Για x διάφορο του 0 είναι:
g(x)= x^2 ( 1/2 -( F(x) - x ) / x^2 - 1 / x )
και επομένως το όριο της g στα -οο, +οο είναι +οο. Yπάρχουν x1, x2 με x1<0<x2 ώστε g(x1)>g(0) και g(x2)>g(0). Τα διαστήματα (g(0),g(x1)), (g(0),g(x2)) προφανώς έχουν κοινό σημείο m. Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής υπάρχουν p, q με x1<p<0<q<x2 ώστε g(p)=g(q)=m οπότε από το θεώρημα του Rolle υπάρχει γ μεταξύ των p, q ώστε g' (γ) = 0 οπότε και f(γ)=γ.

Η λύση σε $\LaTeX$
Ας ονομάσουμε $g(x)=\frac{x^{2}}{2}-F(x)$ . Για

διάφορο του

είναι:
$g(x)=x^{2}(\frac{1}{2}-\frac{(F(x)-x)}{x^{2}}-\frac{1}{x})$
και επομένως το όριο της

στα $-\infty$ $+\infty$ είναι $+\infty$ . Yπάρχουν $x_{1},x_{2}$ με $x_{1}<0<x_{2}$ ώστε $g\left( x_{1}\right) >g\left( 0\right)$ και $g\left( x_{2}\right) >g\left( 0\right)$ . Τα διαστήματα $(g(0),g(x_{1})),(g(0),g(x_{2}))$ προφανώς έχουν κοινό σημείο

. Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής υπάρχουν p,q

με $x_{1}<p<0<q<x_{2}$ ώστε g(p)=g(q)=m

οπότε από το θεώρημα του Rolle υπάρχει $\gamma$ μεταξύ των p,q

ώστε $g^{\prime }\left( \gamma \right) =0$ οπότε και $f(\gamma )=\gamma$ .

Μαυρογιάννης

hsiodos · #5

Να δώσω και μια παραπλήσια σκέψη

Αν $g(x)=F(x)-\frac{x^2}{2}$ τότε $g^\prime(x)=f(x)-x$ και αρκεί να βρούμε διάστημα που να εφαρμόζεται το Θ.Rolle για την g.

Είναι $g(x)=(F(x)-x)+(x-\frac{x^2}{2})$ και έτσι βρίσκουμε ότι $\displaystyle\lim_{x\to +\propto }g(x)=-\propto \,\,\,\,,\displaystyle\lim_{x\to -\propto }g(x)=-\propto$ (1)

Αν η g ήταν 1-1 τότε σαν συνεχής (διαφορά συνεχών) θα ήταν γνησίως μονότονη , άτοπο λόγω της (1)

Άρα υπάρχουν x_1,x_2

στο R με

και

και έτσι από το Θ.Rolle για την g στο [x_1,x_2]

προκύπτει το ζητούμενο.

Γιώργος

Ύπαρξη γ

Ύπαρξη γ

Re: Ύπαρξη γ

Re: Ύπαρξη γ

Re: Ύπαρξη γ

Re: Ύπαρξη γ

Μέλη σε σύνδεση