Αχ αυτά τα ξ ...

#1

Είναι κλασική άσκηση. Απλά κάτι θέλω να θίξω. Παρακαλώ πολύ για αναλυτικές λύσεις.

Δίνεται συνάρτηση

που είναι συνεχής στο [a, b]

, παραγωγίσιμη στο (a, b)

, με

. Να δείξετε ότι υπάρχουν

$\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4 \in (a,b)$ (διαφορετικά μεταξύ τους) ώστε να ισχύει $\displaystyle{\frac{6}{f'(\xi_1)}+\frac{3}{f'(\xi_3)}+\frac{1}{f'(\xi_3)}+\frac{6}{f'(\xi_4)}=-16}$ .

Υ.Γ. Διόρθωσα το -16. Έχετε δίκιο, αφού στα χαρτιά μου ο τελευταίος αριθμητής είναι 2, οπότε το αποτέλεσμα είναι όντως -12.

PanosG · #2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Είναι κλασική άσκηση. Απλά κάτι θέλω να θίξω. Παρακαλώ πολύ για αναλυτικές λύσεις.

Δίνεται συνάρτηση που είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο , με . Να δείξετε ότι υπάρχουν

$\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4 \in (a,b)$ (διαφορετικά μεταξύ τους) ώστε να ισχύει $\displaystyle{\frac{6}{f'(\xi_1)}+\frac{3}{f'(\xi_3)}+\frac{1}{f'(\xi_3)}+\frac{6}{f'(\xi_4)}=-12}$ .

Χωρίζουμε το διάστημα $\left[ {f\left( a \right),f\left( b \right)} \right]$ σε 4 υποδιαστήματα [f(a),x_1 ],[x_1,x_2 ],[x_2,x_3 ],[x_3,f(b)]

με $f\left( a \right) < {x_1} < {x_2} < {x_3} < f(b)$ πλάτους το καθένα
6d,3d,d,6d

όπου $d = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{16}}$
Από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχουν $k,l,m \in (a,b)$ με k < l < m

τέτοια ώστε
f(k)=x_1,f(l)=x_2,f(m)=x_3

.
Εφαρμόζοντας 4 Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα $\left[ {a,k} \right],\left[ {k,l} \right],\left[ {l,m} \right],[m,b]$ έχουμε ότι υπάρχουν ${\xi _1}\in (a,k),{\xi _2} \in (k,l),{\xi _3} \in (l,m) ,{\xi _4} \in (m,b)$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle {f{'}}\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{{f\left( k \right) - f\left( a \right)}}{{k - a}},{f{'}}\left( {{\xi _2}} \right) = \frac{{f\left( l \right) - f\left( k \right)}}{{l - k}},{f{'}}\left( {{\xi _3}} \right) = \frac{{f\left( m \right) - f\left( l \right)}}{{m - l}},{f{'}}\left( {{\xi _4}} \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( m \right)}}{{b - m}}$

Τότε:
$\displaystyle \frac{6}{{{f{'}}\left( {{\xi _1}} \right)}} + \frac{3}{{{f{'}}\left( {{\xi _2}} \right)}} + \frac{1}{{{f{'}}\left( {{\xi _3}} \right)}} + \frac{6}{{{f{'}}\left( {{\xi _4}} \right)}} = \frac{{6\left( {k - a} \right)}}{{f\left( k \right) - f\left( a \right)}} + \frac{{3\left( {l - k} \right)}}{{f\left( l \right) - f\left( k \right)}} + \frac{{\left( {m - l} \right)}}{{f\left( m \right) - f\left( l \right)}} + \frac{{6\left( {b - m} \right)}}{{f\left( b \right) - f\left( m \right)}} =$

$\displaystyle= \frac{{6\left( {k - a} \right)}}{{6d}} + \frac{{3\left( {l - k} \right)}}{{3d}} + \frac{{\left( {m - l} \right)}}{d} + \frac{{6\left( {b - m} \right)}}{{6d}} = \frac{{k - a + l - k + m - l + b - m}}{d} = \frac{{b - a}}{d}=$

$\displaystyle = \frac{{b - a}}{{\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{16}}}} = \frac{{b - a}}{{\frac{{a - b}}{{16}}}} = - 16$

Ουπς Τώρα είδα ότι το ζητούμενο είναι διαφορετικό. Κάπου υπάρχει λάθος, τώρα δεν προλαβαίνω να το ξανακοιτάξω αν το δει κάποιος ας το επισημάνει

#3

Μάλλον το -16 είναι σωστό. Το -12 δεν μπορεί να είναι σωστό. Π.χ. αν πάρουμε a=0,b=1

και

τότε όποια ξ και να επιλέξουμε το άθροισμα θα βγαίνει -16.

#4

Προφανώς και έχετε δίκιο. Στο τελευταίο κλάσμα έχω αριθμητή 2 κανονικά, οπότε το -12 ίσχυε!!!

Για να μην γίνει αλλαγή στη λύση το άλλαξα σε -16.

Συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

#5

Πόσο σχολική θα ήταν η πιο κάτω λύση;

Από θεώρημα μέσης τιμής στο [a,b]

υπάρχει $\xi \in (a,b)$ με $f{'}(\xi) = -1$ .

(1) Αν $f{'}(\xi) \geqslant -1$ για κάθε $\xi \in (a,b)$ , τότε για κάθε $x \in (a,b)$ , από θεώρημα μέσης τιμής στο [a,x]

παίρνουμε $\displaystyle{ \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \geqslant -1}$ και άρα $f(x) \geqslant a+b-x$ , και από θεώρημα μέσης τιμής στο [x,b]

παίρνουμε $\displaystyle{ \frac{f(b) - f(x)}{b-x} \geqslant -1}$ και άρα $f(x) \leqslant a+b-x$ . Άρα f(x) = a+b-x

για κάθε $x \in [a,b]$ . Σε αυτήν την περίπτωση οποιαδήποτε διαφορετικά $\xi$ δουλεύουν αφού $f{'}(\xi) = -1$ για κάθε $\xi \in [a,b]$ .

(2) Αν $f{'}(\xi) \leqslant -1$ για κάθε $\xi \in (a,b)$ τότε με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε f(x) = a+b-x

για κάθε $x \in [a,b]$ και άρα πάλι μπορούμε να βρούμε τα ζητούμενα $\xi$ .

(3) Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε πως υπάρχουν c < -1 < d

και $\xi,\xi{'} \in (a,b)$ με $f{'}(\xi) = c,f{'}(\xi{'}) = d$ . Αρκεί τώρα να βρούμε $r_1,\ldots,r_4 \in [c,d]$ όλα διαφορετικά μεταξύ τους ώστε 6/r_1 + 3/r_2 + 1/r_3 + 6/r_4 = -12

. Πράγματι από Darboux, θα υπάρχουν $\xi_1,\ldots,\xi_4$ ώστε $f{'}(\xi_i) = r_i$ και προφανώς τα $\xi$ θα είναι όλα διαφορετικά.

Μπορούμε εύκολα να βρούμε τέτοια r_i

. Π.χ αρκεί να βρούμε $\varepsilon > 0$ ώστε να μπορούμε να ορίσουμε $1/r_1 =-1 + \varepsilon, 1/r_2 = -1 + 2\varepsilon, r_3 = -1 + 6\varepsilon$ και $1/r_4 = -1 - 3\varepsilon$ . Για να μπορούμε να το κάνουμε αυτό αρκεί $6\varepsilon < 1, c < -1/(1-6\varepsilon)$ και $-1/(1+3\varepsilon) < d$ τα οποία ισχύουν αν $\varepsilon > 0$ αρκετά μικρό.

Ακριβώς η ιδέα δουλεύει και για αυτήν την άσκηση.

#6

PanosG έγραψε: Χωρίζουμε το διάστημα $\left[ {f\left( a \right),f\left( b \right)} \right]$ σε 4 υποδιαστήματα με $f\left( a \right) < {x_1} < {x_2} < {x_3} < f(b)$ πλάτους το καθένα
όπου $d = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{16}}$
Από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχουν $k,l,m \in (a,b)$ με τέτοια ώστε
.

Η ιδέα της λύσης της άσκησης είναι αυτή που περιγράφει ο Πάνος.

Δύο σχόλια:

1. Το διάστημα που χωρίζουμε είναι το [f(b),f(a)]

και όχι το [f(a),f(b)]

. Αυτό δημιουργεί ένα θεματάκι στα $\xi_i$ και διαφοροποιεί την ακριβή λύση της άσκησης.
2. Νομίζω ότι είναι αναγκαίο να αναφερθεί συγκεκριμένα σε ποιο διάστημα κάθε φορά εφαρμόζουμε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών που χρησιμοποιούμε. Με τον τρόπο που διατυπώνεται φαίνεται σαν να είναι το [a,b]

πάντα.

Αχ αυτά τα ξ ...

Αχ αυτά τα ξ ...

Re: Αχ αυτά τα ξ ...

Re: Αχ αυτά τα ξ ...

Re: Αχ αυτά τα ξ ...

Re: Αχ αυτά τα ξ ...

Re: Αχ αυτά τα ξ ...

Μέλη σε σύνδεση