Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

pito · #1

Καλημέρα

. Με προβληματίζει η ακόλουθη άσκηση:

Να βρεθούν τα $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ ώστε το πολυώνυμο $P(x)=x^{4}+\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta$ να έχει ρίζα το 1 και με βαθμό πολλαπλότητας 3.

Σύμφωνα με γνωστή πρόταση πρέπει να ισχύει P(1)=P'(1)=P''(1)=0

και $P^{(3)}(1)\neq 0$ ώστε το 1 να είναι ρίζα πολλαπλότητας 3. Δηλαδή πρέπει να λύσω το σύστημα :
$1+\alpha +\beta +\gamma +\delta =0, 3\alpha +2\beta +\gamma =-4, 12+6\alpha +2\beta =0$ το οποίο είναι 3 εξισώσεων με 4 αγνώστους.

Το βιβλίο που τη βρήκα γράφει ότι πρέπει και P(-1)=0

. Αυτό δεν το καταλαβαίνω, γιατί το P(x)

να έχει ρίζα και το -1;

Είναι κάτι που δεν βλέπω;;;

#2

Καλημέρα. Μια χαρά βλέπεις!!!

Τυπογραφικό είναι: είτε στην εκφώνηση είτε στις υποδείξεις.

pito · #3

Σε ευχαριστώ πολύ, προφάνως πρέπει στην εκφώνηση να έχει ότι και το -1 είναι ρίζα του αρχικού πολυωνύμου!

#4

Μήπως δίνει και: P(x)=x^4-2x^3+2x-1

;;;

#5

Kαλημέρα!
Εγώ παρατηρώ πως σύμφωνα με τη εκφώνηση υπάρχουν άπειρα πολυώνυμα που κάνουν αυτά που ζητάς.
Εύκολα βλέπουμε πως το δ είναι η τέταρτη ρίζα του πολυωνύμου.
Μάλλον κάτι λείπει.

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Μα έχεις 4 αγνώστους και 3 εξισώσεις! Κάτι λείπει...

pito · #7

Η απορία μου από την αρχή ήταν γιατί προκύπτουν λιγότερες εξισώσεις από το πλήθος των αγνώστων. Κ εγώ σκέφτηκα τις άπειρες λύσεις, αλλά μετά που κοίταξα την λύση είδα ότι χρησιμοποιεί P(-1)=0

, ενώ δεν είναι αναγκαστικό αν έχει το P(x)

ρίζα το 1, να έχει και το -1!
Οπότε μάλλον αυτό πρέπει να προστεθεί στην εκφώνηση.
Κ το βιβλίο καταλήγει ότι είναι το $P(x)=x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2$ .

Μάκης Χατζόπουλος · #8

Περίεργο, το πολυώνυμο που αναφέρεις δεν έχει ρίζα το

, αλλά το

(φυσικά και το 1 - τρεις φορές)!!!

pito · #9

Σωστά Μάκη τώρα το είδα και με λύση του συστήματος μου βγαίνει το πολυώνυμο που βρήκε ο Λευτέρης!
Πολλά λάθη είχε η άσκηση! Ευχαριστώ όλους εσάς που ασχοληθήκατε!

#10

Νομίζω ότι τα πράγματα είναι απλά και δεν χρειάζονται οι τύποι Vieta ή παράγωγοι.
Η στάνταρ θεωρία λέει ότι το τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο με τριπλή ρίζα

και μία ακόμη ρίζα

είναι της μορφής
a(x-c)^3(x-d)

και μόνον αυτής.

Με c=1

και μονικό πολυώνυμο, είναι το (x-1)^3(x-d)

.

Τρέχω για μάθημα.

Μ.

Γιώργος Απόκης · #11

Όπως είναι διατυπωμένη, πράγματι βγαίνουν άπειρα πολυώνυμα. Λύνοντας το σύστημα προκύπτει

$\alpha=-3-\delta,~\beta=3+3\delta,~\gamma=-1-3\delta,~\delta \in \mathbb R$ και άρα

$P(x)=x^{4}+(-3-\delta) x^{3}+(3+3\delta) x^{2}+(-1-3\delta) x+\delta,~\delta \in \mathbb R$

Θα μπορούσε, βέβαια, η άσκηση να είναι:

" Να βρείτε τα $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ και να μαντέψετε την άλλη ρίζα ώστε το πολυώνυμο

$P(x)=x^{4}+\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta$ να έχει ρίζα το 1 και με βαθμό πολλαπλότητας 3."

Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Re: Ρίζα πολυωνύμου πολλαπλότητας 3

Μέλη σε σύνδεση