Δυσνόητη ... παραβολή

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2$ . Από σημείο

της $C_{f}$ , που βρίσκεται στο

ο τεταρτημόριο ,

φέρω ευθεία $\varepsilon$ κάθετη προς την εφαπτομένη , η οποία τέμνει ξανά την $C_{f}$ στο σημείο

.

1) Για ποιά θέση του

, η $\varepsilon$ διέρχεται από το σημείο C(-4,8)

?

2) Αποδείξτε ότι το

, δεν μπορεί να βρεθεί κάτω από τη "στάθμη" : y=4

.

Γιώργος Απόκης · #2

1) Έστω

. Η

έχει παράγωγο f{'}(x)=x

άρα η εφαπτομένη θα είναι $\displaystyle{(\delta):y-\frac{1}{2}x_1^2=x_1(x-x_1)}$ .

Η κάθετη επομένως θα έχει $\displaystyle{\lambda=-\frac{1}{x_1}}$ και $\displaystyle{(\epsilon):y-\frac{1}{2}x_1^2=-\frac{1}{x_1}(x-x_1)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{x_1}x+1-\frac{1}{2}x_1^2 }$ .

Για το S(x_0,f(x_0))

λύνουμε το σύστημα των $\epsilon,~C_f$ και έχουμε $\displaystyle{-\frac{1}{x_1}x_0+1-\frac{1}{2}x_1^2=\frac{1}{2}x_0^2\Leftrightarrow x_0^2+\frac{2}{x_1}x_0-2-x_1^2=0}$ .

H τελευταία έχει ως λύσεις τις τετμημένες των A,S

άρα από Vieta έχουμε $\displaystyle{x_0\cdot x_1=-2-x_1^2\Leftrightarrow x_0=\frac{-2-x_1^2}{x_1}}$ .

Για να διέρχεται από το

πρέπει $\displaystyle{x_0=-4\Leftrightarrow \frac{-2-x_1^2}{x_1}=-4\Leftrightarrow x_1^2-4x_1+2=0 \overset{x_1>0}\Leftrightarrow x_1=2\pm\sqrt{2}}$ , από όπου προκύπτουν δύο σημεία για το

.

Edit: Διόρθωσα τη λύση για την εξίσωση, ευχαριστώ το θεματοθέτη για την επισήμανση!

2) Aφού x_0<0

αρκεί $\displaystyle{y_0\geq 4\Leftrightarrow x_0\leq -2\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{-2-x_1^2}{x_1}\leq -2\sqrt{2} \overset{x_1>0}\Leftrightarrow x_1^2-2\sqrt{2}x_1+2\geq 0\Leftrightarrow (x_1-\sqrt{2})^2 \geq 0}$ που ισχύει.

Δυσνόητη ... παραβολή

Δυσνόητη ... παραβολή

Re: Δυσνόητη ... παραβολή

Μέλη σε σύνδεση