Οριακή... διαδικασία!

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\begin{cases}\displaystyle{\frac{sin(\pi x^2)}{x},~x\ne 0} \\ ~~~~~~0 ~~~,x=0 \end{cases}}$

i) Να βρείτε την παράγωγο της

.

ii) Να εξετάσετε αν η f{'}

είναι συνεχής στο

.

iii) Να βρείτε τα όρια
$\displaystyle{a)~ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)~~~~~~~~~\beta)~ \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}}$

pito · #2

Καλησπέρα Γιώργο δίνω μια (επιφυλακτική) λύση γιατί δεν είναι η μέρα μου σήμερα:

Για $x\neq 0\Rightarrow f'(x)=\frac{xcos(\pi x^{2})2\pi x-sin(\pi x^{2})}{x^{2}}$
Για $x=0\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}f(x)=lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x^{2})}{x}=\pi lim_{x\rightarrow 0}x\frac{sin(\pi x^{2})}{\pi x^{2}}=0=f(0)$
γιατί $lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x^{2})}{\pi x^{2}}=lim_{u\rightarrow 0}\frac{sinu}{u}=1, u=\pi x^{2}$ ,
άρα η

είναι συνεχής στο 0.

Ακόμη $lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x^{2})}{x^{2}}=\pi lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x^{2})}{\pi x^{2}}=\pi \Rightarrow f'(0)=\pi$

Είναι $lim_{x\rightarrow 0}(f'(x))=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\pi x^{2}cos(\pi x^{2})-sin(\pi x^{2})}{x^{2}}=lim_{x\rightarrow 0}(2\pi cos(\pi x^{2})-\pi \frac{sin(\pi x^{2})}{\pi x^{2}}=2\pi -\pi =\pi =f'(0)$ και η

είναι συνεχής στο 0.

Ακόμη $lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{sin(\pi x^{2})}{x}=0$ γιατί $-1\leq sin(\pi x^{2})\leq 1\Rightarrow \frac{-1}{x}\leq \frac{sin(\pi x^{2})}{x}\leq \frac{1}{x} ( \gamma \iota \alpha x\succ 0) \Rightarrow lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{sin(\pi x^{2})}{x}=0$

Τέλος $lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x}=lim_{x\rightarrow +\propto }\pi \frac{sin(\pi x^{2})}{\pi x^{2}} =0$ γιατί πάλι από κριτήριο παρεμβολής για $u=\pi x^{2}\Rightarrow lim_{u\rightarrow +\propto }\frac{sinu}{u}=0$

Γιώργος Απόκης · #3

Μια γραφική...

Οριακή... διαδικασία!

Οριακή... διαδικασία!

Re: Οριακή... διαδικασία!

Re: Οριακή... διαδικασία!

Μέλη σε σύνδεση