Mε αφορμή ένα πρόβλημα της Β΄λυκείου

#1

Προσεγγίζοντας το 2ο πρόβλημα της Β΄ λυκείου του φετινού Θαλή με εργαλεία της ανάλυσης, προέκυψε η παρακάτω άσκηση:

Άσκηση
Έστω η πραγματική συνάρτηση

με $f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}-\frac{1}{c^2}}$ όπου a,b,c

πραγματικοί αριθμοί με a<b

και $c\neq 0.$

α) Να μελετηθεί η

ως προς τη μονοτονία.
β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της

γ) Να μελετηθεί η

ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να χαραχθεί πρόχειρα η γραφική παράσταση της

ε) Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης f(x)>0

είναι η ένωση δύο διαστημάτων συνολικού πλάτους 2c^2.

#2

α) H συνάρτηση

είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(-\infty,a) \cup(a,b) \cup(b,+\infty)$
με $\displaystyle{f'(x)=-\frac{1}{(x-a)^2}-\frac{1}{(x-b)^2}}$ .
Ισχύει f'(x)<0

για κάθε $x \in (-\infty,a) \cup(a,b) \cup(b,+\infty)$ ,
οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα $(-\infty,a),(a,b),(b,+\infty)$ .

β) * Για $x \in A_1=(-\infty,a)$ η

είναι γνησίως φθίνουσα, άρα ισχύει $\displaystyle{f(A_1)=\left(-\infty,-\frac{1}{c^2} \right )}$ .
** Για $x \in A_2=(a,b)$ η

είναι γνησίως φθίνουσα, άρα ισχύει $\displaystyle{f(A_2)=\left(-\infty,+\infty \right )}$ .
*** Για $x \in A_3=(b,+\infty)$ η

είναι γνησίως φθίνουσα, άρα ισχύει $\displaystyle{f(A_3)=\left(-\frac{1}{c^2},+\infty \right )}$ .
Συνεπώς:
$\displaystyle{f(A)=f(A_1) \cup f(A_2) \cup f(A_3)=\mathbb{R}}$

γ) H συνάρτηση

είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(-\infty,a) \cup(a,b) \cup(b,+\infty)$
με $\displaystyle{f''(x)=\frac{2}{(x-a)^3}+\frac{2}{(x-b)^3}}$ .
Συνεπώς:
- f''(x)>0

όταν $\displaystyle{x \in \left (a, \frac{a+b}{2} \right) \cup (b,+\infty)}$ ,
δηλαδή η

είναι κυρτή στα $\displaystyle{\left (a, \frac{a+b}{2} \right]}$ , $\displaystyle{(b,+\infty)}$ .
-- f''(x)<0

όταν $\displaystyle{x \in \left (-\infty, a \right) \cup \left ( \frac{a+b}{2} , b \right)}$ ,
δηλαδή η

είναι κοίλη στα $\displaystyle{\left (-\infty, a \right)}$ , $\displaystyle{\left[\frac{a+b}{2},b\right )}$ .

Συνεπώς η

παρουσιάζει σημείο καμπής για $\displaystyle{x=\frac{a+b}{2}}$ .

ε) Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι η f(x)=0

έχει δύο ακριβώς ρίζες μία σε κάθε ένα από τα διαστήματα A_2,A_3

έστω

.
Συνεπώς η λύση της ανίσωσης f(x)>0

είναι: $x\in (a,x_2)\cup(b,x_3)$ που έχουν συνολικό πλάτος:
$\displaystyle{R=x_2-a+x_3-b}$ .
Οι ρίζες αυτές είναι λύσεις της αρχικής εξίσωσης ή της ισοδύναμής της: $\displaystyle{x^2-(a+b+2c^2)x+ab+ac^2+bc^2=0}$ .
Από τους τύπους του Vieta έχουμε x_2+x_3=a+b+2c^2

,
άρα
$\displaystyle{R=a+b+2c^2-a-b=2c^2}$ .

#3

Λευτέρη ευχαριστώ πολύ για τον κόπο σου!

Η ιδέα είναι δανεισμένη από το παρακάτω πρόβλημα:

Πρόβλημα

Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης

$\displaystyle{\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}+...+\frac{70}{x-70}\geq \frac{5}{4}}$

είναι η ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών-κλειστών διαστημάτων συνολικού πλάτους 1988.

(29η ΔΜΟ, Αυστραλία, 1988)

#4

Θέτω $\displaystyle{fx)=\sum_{k=1}^{70}{\frac{1}{x-k}}-\frac{5}{4}}$
η $\displaystyle{f}$ είναι γν.φθίνουσα σε κάθε διάστημα του Π.Ο της
Με Θ.Β και με ορια υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{r_1\in (1,2):f(r_1)=0}$ οπότε η ανισωση επαληθεύεται στο $\displaystyle{(1,r_1]}$ με πλάτος $\displaystyle{r_1-1}$ και όμοια στο 69ο διάστημα με πλάτος $\displaystyle{r_{69}-69}$
Για $\displaystyle{x<1}$ είναι $\displaystyle{f(x)<0}$
Για $\displaystyle{x>1}$ εύκολα σύνολο τιμών της γν.φθίνουσας $\displaystyle{f}$ το $\displaystyle{(-5/4,+\infty)}$ άρα υπάρχει και ένα ακόμη διάστημα με πλάτος $\displaystyle{r_{70}-70}$
το συνολικό πλάτος είναι $\displaystyle{r_1+...+r_{70}-(1+...70)=s-(1+2+...+70)=s-35.71}$
Το άθροισμα ων ριζών $\displaystyle{s}$ της $\displaystyle{f}$ είναι το άθροισμα των ριζών του πολυωνύμου $\displaystyle{p}$ 70ου βαθμού $\displaystyle{p(x)=(x-1)...(x-70)-\frac{4}{5}(1.(x-2)....(x-70)+(x-1)2...(x-70)+...(x-1)...(x-69).70)}$
ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι το $\displaystyle{1}$
o επόμενος είναι $\displaystyle{-(1+...+70)-4/5(1+....+70)=-9/5.35.71=-63.71=-4473}$ άρα $\displaystyle{s=4473}$ και το συνολικό πλάτος των διαστημάτων είναι $\displaystyle{d=4473-35.71=1988}$

Mε αφορμή ένα πρόβλημα της Β΄λυκείου

Mε αφορμή ένα πρόβλημα της Β΄λυκείου

Re: Mε αφορμή ένα πρόβλημα της Β΄λυκείου

Re: Mε αφορμή ένα πρόβλημα της Β΄λυκείου

Re: Mε αφορμή ένα πρόβλημα της Β΄λυκείου

Μέλη σε σύνδεση