Διαφορικός Λογισμός 5

Γιώργος Κ77 · #1

Αν $f(x)=\frac{1}{x}$ και $g(x)=e^{-x}$ , να αποδείξετε ότι οι $C_{f}$ και $C_{g}$ έχουν κοινή εφαπτομένη.

#2

Γιώργος Κ77 έγραψε:Αν $f(x)=\frac{1}{x}$ και $g(x)=e^{-x}$ , να αποδείξετε ότι οι $C_{f}$ και $C_{g}$ έχουν κοινή εφαπτομένη.

Η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{C_f}$ στο σημείο της $\displaystyle{A(a,f(a))}$ είναι η

$\displaystyle{y=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}.}$

Ομοίως, η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{C_g}$ στο σημείο της $\displaystyle{B(b,g(b))}$ είναι η

$\displaystyle{y=-e^{-b}x+(b+1)e^{-b}.}$

Για να υπάρχει κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των $\displaystyle{f,g}$ αρκεί να υπάρχουν τιμές των $\displaystyle{a,b}$ ώστε να ισχύει

$\displaystyle{a^2=e^b}$ και $\displaystyle{\frac{2}{a}=(b+1)e^{-b}.}$

Από αυτές με απαλοιφή βρίσκουμε $\displaystyle{(b+1)^2=4e^b.}$ Αυτή έχει ρίζα, όπως φαίνεται με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano στη συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=(x+1)^2-4e^x}$ στο διάστημα $\displaystyle{[-3,0],}$ άρα και το παραπάνω σύστημα έχει λύση.

Γιώργος Κ77 · #3

Θάνο, μιλάμε για ταχύτητα όχι αστεία!

Διαφορικός Λογισμός 5

Διαφορικός Λογισμός 5

Re: Διαφορικός Λογισμός 5

Re: Διαφορικός Λογισμός 5

Μέλη σε σύνδεση