Βρείτε το f(3)

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ η οποία είναι μη σταθερή και για την οποία ισχύει: $\displaystyle{ f\left( {xy} \right) = f\left( x \right) f\left( y \right),\forall x,y \in R }$ . Να δειχθεί ότι:

i) $\displaystyle{ f\left( 1 \right) = 1 }$ και $\displaystyle{ f\left( 0 \right) = 0 }$

ii) $\displaystyle{ f\left( x \right) \ne 0,\forall x \in R^* }$

iii) Αν η $\displaystyle{ f }$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ x_0 = 1 }$ με $\displaystyle{ f{'}\left( 1 \right) = 2 }$ τότε να δείξετε ότι η $\displaystyle{ f }$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ R^* }$ και ισχύουν οι σχέσεις:

a) $\displaystyle{ f{'}\left( x \right) = 2\frac{{f\left( x \right)}} {x},x \in R^* }$ και

b) $\displaystyle{ f\left( 3 \right) = 9 }$

Στάθης

#2

Είναι

για κάθε $x\in \mathbb{R}.$ Αν f(1)=0

τότε η συνάρτηση θα ήταν σταθερή.

Επίσης f(1)=f^2(1)

οπότε

Ακόμα

για κάθε $x\in \mathbb{R}.$ Αν $f(0)\neq 0$ τότε f(x)=1

για κάθε $x\in \mathbb{R},$ δηλαδή η συνάρτηση είναι σταθερή, άτοπο. Άρα f(0)=0.

Αν υπήρχε $a\neq 0$ με f(a)=0

τότε $f(1)=f(a)f(\displaystyle{\frac{1}{a})=0},$ άτοπο.

iii)

Έστω $a\neq 0.$ Τότε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{y\rightarrow 1}\frac{f(ay)-f(a)}{ay-a}=\lim_{y\rightarrow 1}\frac{f(a)}{a}\frac{f(y)-f(1)}{y-1}=2\frac{f(a)}{a}.}$ Άρα $f'(a)=2\displaystyle{\frac{f(a)}{a}}$ για κάθε $a\neq 0.$

Είναι xf'(x)-2f(x)=0

, οπότε και $\displaystyle{\frac{x^2f'(x)-2xf(x)}{x^4}=0}$ για κάθε x>0.

Άρα $\displaystyle{\frac{f(x)}{x^2}=c}$ για κάθε x>0.

Είναι

οπότε

Άρα

Y.Γ. Έκανα μια διόρθωση μετά από υπόδειξη του Περικλή τον οποίο και ευχαριστώ.

parmenides51 · #3

Βρήκαμε πως $\displaystyle{f(x)=x^2}$ για $\displaystyle{x\ge0}$ .
Μπορούμε να βρούμε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ για $\displaystyle{x<0}$ ; Για την ακρίβεια
υπάρχει τρόπος να υπολογίσουμε την σταθερά $\displaystyle{k}$ στον τύπο $\displaystyle{f(x)=kx^2}$ για $\displaystyle{x<0}$ ;

Βρείτε το f(3)

Βρείτε το f(3)

Re: Βρείτε το f(3)

Re: Βρείτε το f(3)

Μέλη σε σύνδεση