Κοινές εφαπτόμενες

Γιώργος Απόκης · #1

Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$ και $\displaystyle{g(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})sinx}$

έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάθε κοινό τους σημείο.

pito · #2

Καλημέρα Γιώργο, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε κοινό τους σημείο $M(x_{0},y_{0})$ με $y_{0}=f(x_{0})=g(x_{0})$ ισχύει ότι $f'(x_{0})=g'(x_{0})$ .

Είναι $f(x_{0})=g(x_{0})\Rightarrow \frac{1}{2}(e^{x_{0}}+e^{-x_{0}})=\frac{1}{2}(e^{x_{0}}+e^{-x_{0}})sinx_{0}\Rightarrow sinx_{0}=1$ , γιατί $e^{x_{0}}+e^{-x_{0}}>0$ . Έτσι και $cos^{2}x_{0}=1-sin^{2}x_{0}\Rightarrow cosx_{0}=0$ .

Πρέπει $f'(x_{0})=g'(x_{0})\Leftrightarrow \frac{1}{2}(e^{x_{0}}-e^{-x_{0}})=\frac{1}{2}(e^{x_{0}}-e^{-x_{0}})sinx_{0}+\frac{1}{2}(e^{x_{0}}+e^{-x_{0}})cosx_{0}\Leftrightarrow \frac{1}{2}(e^{x_{0}}-e^{-x_{0}})=\frac{1}{2}(e^{x_{0}}-e^{-x_{0}})\Leftrightarrow 0=0$ , που ισχύει.
Σωστά;

Γιώργος Απόκης · #3

pito έγραψε:Καλημέρα Γιώργο, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε κοινό τους σημείο $M(x_{0},y_{0})$ με $y_{0}=f(x_{0})=g(x_{0})$ ισχύει ότι $f'(x_{0})=g'(x_{0})$ .

Είναι $f(x_{0})=g(x_{0})\Rightarrow \frac{1}{2}(e^{x_{0}}+e^{-x_{0}})=\frac{1}{2}(e^{x_{0}}+e^{-x_{0}})sinx_{0}\Rightarrow sinx_{0}=1$ , γιατί $e^{x_{0}}+e^{-x_{0}}>0$ . Έτσι και $cos^{2}x_{0}=1-sin^{2}x_{0}\Rightarrow cosx_{0}=0$ .

Πρέπει $f'(x_{0})=g'(x_{0})\Leftrightarrow \frac{1}{2}(e^{x_{0}}-e^{-x_{0}})=\frac{1}{2}(e^{x_{0}}-e^{-x_{0}})sinx_{0}+\frac{1}{2}(e^{x_{0}}+e^{-x_{0}})cosx_{0}\Leftrightarrow \frac{1}{2}(e^{x_{0}}-e^{-x_{0}})=\frac{1}{2}(e^{x_{0}}-e^{-x_{0}})\Leftrightarrow 0=0$ , που ισχύει.
Σωστά;

Κοινές εφαπτόμενες

Κοινές εφαπτόμενες

Re: Κοινές εφαπτόμενες

Re: Κοινές εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση