Διαφορικός Λογισμός 10

Γιώργος Κ77 · #1

Να αποδείξετε ότι :

$1+x\cdot ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\geq \sqrt{x^{2}+1}$ .

#2

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=1+x\ln (x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{x^2+1}}$ με $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Εύκολα βρίσκουμε

$\displaystyle{f{''}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}>0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή.

Επειδή είναι $\displaystyle{f(0)=f{'}(0)=0,}$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{C_f}$ είναι η $\displaystyle{y=0,}$ οπότε προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα.

parmenides51 · #3

Αλλιώς

Έστω $\displaystyle{f(x)=1+x\ln (x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{x^2+1}}$ με $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Εύκολα βρίσκουμε πως $\displaystyle{f{''}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{f(0)=f{'}(0)=0}$ .

$\displaystyle{f{''}>0\Rightarrow f{'}\uparrow \mathbb{R}}$ κι επειδή $\displaystyle{f{'}(0)=0}$

$\displaystyle{x<0\mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f{'}\uparrow }} f{'}(x)<f{'}(0)\mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f{''}(0)=0 }} f{'}(x)<0 \Rightarrow f\downarrow (-\infty,0]}$

$\displaystyle{x>0\mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f{'}\uparrow }} f{'}(x)>f{'}(0)\mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f{''}(0)=0 }} f{'}(x)>0 \Rightarrow f\uparrow [0,+\infty)}$

κι επειδή $\displaystyle{f(0)=0}$

$\displaystyle{x<0\mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f\downarrow (-\infty,0] }} f(x)>f(0)\mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f(0)=0 }} f(x)>0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in (-\infty,0)}$

$\displaystyle{x>0\mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f\uparrow [0,+\infty) }} f(x)>f(0)\mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f(0)=0 }} f(x)>0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in (0,+\infty)}$

κι επειδή $\displaystyle{f(0)=0}$

έχουμε πως $\displaystyle{f(x)\geq 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Διαφορικός Λογισμός 10

Διαφορικός Λογισμός 10

Re: Διαφορικός Λογισμός 10

Re: Διαφορικός Λογισμός 10

Μέλη σε σύνδεση