Μέγιστη Επιφάνεια

#1

...

Σε σφαίρα ακτίνας

να εγγράψετε κύλινδρο με μέγιστη ολική επιφάνεια.

#2

Γειά σου Φωτεινή.

Ας ονομάσουμε

την ακτίνα της σφαίρας και

την ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου. Αν

είναι το ύψος του κυλίνδρου, τότε από το Πυθαγ. θεώρ. έχουμε:

$u^{2}=R^{2}-r^{2}$ άρα $u=\sqrt{R^{2}-r^{2}}$

Όμως το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι $E=2\pi r.2u+2\pi r^{2}=4\pi r\sqrt{R^{2}-r^{2}}+2\pi r^{2}$

Θεωρούμε την συνάρτηση $f(r)=4\pi r\sqrt{R^{2}-r^{2}}+2\pi r^{2}$ Τότε:

$f{'}(r)=4\pi \frac{R^{2}-2r^{2}+r\sqrt{R^{2}-r^{2}}}{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}$

$f{'}(r)=0\Leftrightarrow r\sqrt{R^{2}-r^{2}}=2r^{2}-R^{2}\Leftrightarrow r^{2}(R^{2}-r^{2})=(2r^{2}-R^{2})^{2},$

$2r^{2}-R^{2}>0$

Λύνοντας την εξ'ισωση, βρίσκουμε $r=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}.R$

Ενώ $f{'}(r)>0\Leftrightarrow r<\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}.R$ και

$f{'}(r)<0\Leftrightarrow r>\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}.R$

και άρα η επιφάνεια του κυλίνδρου είναι μέγιστη, όταν η ακτίνα του γίνει $r=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}.R$

Μέγιστη Επιφάνεια

Μέγιστη Επιφάνεια

Re: Μέγιστη Επιφάνεια

Μέλη σε σύνδεση