ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ f

#1

...μιά και ψάχνουμε τύπους συνάρτησης μιά βραδυνή έμπνευση σε παρόμοιες σημερινές σκέψεις της παρέας....

Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ ώστε να ισχύουν $f(x){f}'(x){f}''(x)={{e}^{3x}}\,$ και f(x){f}'(-x)=1

για κάθε $x\in R$
α) Να δειχθεί ότι {f}'(0)=f(0)=1

.
β) Να βρεθεί η

.

Μαθηματικά και Γιορτινά
Βασίλης

mathxl · #2

ι.
Είναι
$\displaystyle{f\left( x \right) \ne 0 \wedge f'\left( x \right) \ne 0 \wedge f''\left( x \right) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$
Για $\displaystyle{x = 0}$ στην $\displaystyle{f\left( x \right)f'\left( { - x} \right) = 1}$ προκύπτει $\displaystyle{f\left( 0 \right)f'\left( 0 \right) = 1}$
Παραγωγίζοντας τα μέλη της ίδιας σχέσης λαμβάνουμε $\displaystyle{f'\left( x \right)f'\left( { - x} \right) = f\left( x \right)f''\left( { - x} \right)}$
Σχέση που για $\displaystyle{x = 0}$ δίνει
$\displaystyle{{\left[ {f'\left( 0 \right)} \right]^2} = f\left( 0 \right)f''\left( 0 \right) \Leftrightarrow {\left[ {f'\left( 0 \right)} \right]^3} = f\left( 0 \right)f'\left( 0 \right)f''\left( 0 \right) \Leftrightarrow {\left[ {f'\left( 0 \right)} \right]^3} = 1 \Leftrightarrow f'\left( 0 \right) = 1}$
Είναι $\displaystyle{f\left( 0 \right)f'\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 1}$
ιι.
Βάζοντας στην $\displaystyle{f\left( x \right)f'\left( { - x} \right) = 1}$ για $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{ - x}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{f\left( { - x} \right)f'\left( x \right) = 1}$
Έτσι έχουμε
$\displaystyle{f\left( { - x} \right)f'\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right)f'\left( x \right) = f\left( x \right)f'\left( { - x} \right) \Rightarrow f\left( { - x} \right)f'\left( x \right) - f\left( x \right)f'\left( { - x} \right) = 0 \Rightarrow }$
$\displaystyle{{\left[ {f\left( { - x} \right)f\left( x \right)} \right]^\prime } = 0 \Leftrightarrow f\left( { - x} \right)f\left( x \right) = c}$
Για $\displaystyle{x = 0}$ είναι $\displaystyle{1 = c}$
Με αντικατάσταση έχουμε
$\displaystyle{f\left( { - x} \right)f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow f\left( { - x} \right)f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = m{e^x}}$
Για $\displaystyle{x = 0}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{m = 1}$
Έτσι έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) = {e^x}}$ , τύπος συνάρτησης που είναι δεκτὀς διότι ικανοποιεί τις προυποθέσεις μας.

#3

...Χρόνια πολλά συνονόματε...ακριβώς στην σκέψη μου να είσαι καλά...
και ευχαριστώ που ασχολήθηκες...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ f

ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ f

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ f

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ f

Μέλη σε σύνδεση