Διαφορικός Λογισμός 12

Γιώργος Κ77 · #1

Να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha ,\beta \in (0,\displaystyle\ +\infty )$ , ισχύει :

$\frac{3ln\alpha }{\alpha -ln\alpha }+\frac{7ln\beta }{\beta -ln\beta }\leq \frac{10}{e-1}$ .

#2

Γιώργος Κ77 έγραψε:Να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha ,\beta \in (0,\displaystyle\ +\infty )$ , ισχύει :

$\frac{3ln\alpha }{\alpha -ln\alpha }+\frac{7ln\beta }{\beta -ln\beta }\leq \frac{10}{e-1}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{\ln x}{x-\ln x},x>0}$ έχει πρώτη παράγωγο

$\displaystyle{f{'} (x)=\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2},}$ οπότε προφανώς παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $\displaystyle{e}$ το $\displaystyle{\frac{1}{e-1}.}$

Ο ισχυρισμός έπεται.

parmenides51 · #3

Ας γράψω λίγο αναλυτικά το φινάλε του Θάνου

βρήκαμε πως $\displaystyle{f(x)\leq f(e)}$ για $\displaystyle{x>0}$ με $\displaystyle{f(e)=\frac{1}{e-1}}}$

συνεπώς για $\displaystyle{x=\alpha}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(\alpha)\leq f(e) \Rightarrow 3f(\alpha)\leq 3f(e)}$

συνεπώς για $\displaystyle{x=\beta}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(\beta)\leq f(e) \Rightarrow 7f(\beta)\leq 7f(e)}$

προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε πως

$\displaystyle{3f(\alpha)+7f(\beta)\leq 10f(e) \mathtop \limits{_{\Leftrightarrow }^{f(e)=\frac{1}{e-1}}}\frac{3ln\alpha }{\alpha -ln\alpha }+\frac{7ln\beta }{\beta -ln\beta }\leq \frac{10}{e-1}}$

Διαφορικός Λογισμός 12

Διαφορικός Λογισμός 12

Re: Διαφορικός Λογισμός 12

Re: Διαφορικός Λογισμός 12

Μέλη σε σύνδεση