ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από perpant » Δευ Ιαν 16, 2012 3:52 pm

Να συνεχίσουμε την προσπάθεια των συλλογών με Διαφορικό Λογισμό.


Παντούλας Περικλής
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από perpant » Δευ Ιαν 16, 2012 3:53 pm

Μία απλή για αρχή
ΑΣΚΗΣΗ 71η
Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι ορισμένη στο R, συνεχής στο σημείο \displaystyle{x_0 } και ισχύει \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x_0  - 2h} \right)}}{h} = m \in R}. Να αποδείξετε ότι ισχύει \displaystyle{f'(x_0 ) =  - \frac{m}{2}}.


Παντούλας Περικλής
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από STOPJOHN » Δευ Ιαν 16, 2012 8:33 pm

Λύση άσκηση 71
Θεωρούμε τη συνάρτηση
g(h)=\frac{f(x_{0}-2h)}{h}\Leftrightarrow f(x_{0}-2h)=h.g(h)   ,    \lim_{h\rightarrow 0}f(x_{0}-2h)=0 Θέτουμε x_{0}-2h=w,  w\rightarrow x_{0},  \lim_{w\rightarrow x_{0}}f(w)=0=f(x_{0}) Συνεπώς \lim_{h_{1}\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h_{1})-f(x_{0})}{h_{1}}=\lim_{h_{1}\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h_{1})}{h_{1}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-2h
)}{-2h}=\frac{-m}{2} Έγινε αλλαγή ματαβλητής h_{1}        -2h

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Δευ Ιαν 16, 2012 11:04 pm

ΑΣΚΗΣΗ 72

Η συνάρτηση \displaystyle{f}:\displaystyle{R \to R} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις

\bullet \displaystyle{f(2) = 2}

\bullet \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{\eta \mu 3x}} = 3}

\bullet \displaystyle{f''(x) \ne 0} για κάθε \displaystyle{x \in (0,2)}

α. Να δείξετε οτι \displaystyle{f(0) = 0}

β. Να αποδείξετε οτι \displaystyle{f'(0) = 9}

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο \displaystyle{A(0,f(0))}

δ. Να αποδείξετε οτι η εξίσωση \displaystyle{f'(x) = 0} δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα \displaystyle{(0,2)}

ε. Να αποδείξετε οτι υπάρχει \displaystyle{\xi  \in (0,2)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(\xi ) = 2 - \xi }

στ. Να αποδείξετε οτι υπάρχουν \displaystyle{x_1 ,x_2  \in (0,2)} τέτοια ώστε \displaystyle{f'(x_1 ) \cdot f'(x_2 ) = 1}

Ι.Γαρατζιώτης & Π. Μάστακας (εκδόσεις Κέδρος)


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από perpant » Τρί Ιαν 17, 2012 2:18 am

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72

Η συνάρτηση \displaystyle{f}:\displaystyle{R \to R} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις

\bullet \displaystyle{f(2) = 2}

\bullet \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{\eta \mu 3x}} = 3}

\bullet \displaystyle{f''(x) \ne 0} για κάθε \displaystyle{x \in (0,2)}

α. Να δείξετε οτι \displaystyle{f(0) = 0}

β. Να αποδείξετε οτι \displaystyle{f'(0) = 9}

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο \displaystyle{A(0,f(0))}

δ. Να αποδείξετε οτι η εξίσωση \displaystyle{f'(x) = 0} δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα \displaystyle{(0,2)}

ε. Να αποδείξετε οτι υπάρχει \displaystyle{\xi  \in (0,2)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(\xi ) = 2 - \xi }

στ. Να αποδείξετε οτι υπάρχουν \displaystyle{x_1 ,x_2  \in (0,2)} τέτοια ώστε \displaystyle{f'(x_1 ) \cdot f'(x_2 ) = 1}

Ι.Γαρατζιώτης & Π. Μάστακας (εκδόσεις Κέδρος)


α) Στη σχέση \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu 3x}} = 3} θέτω \displaystyle{\frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu 3x}} = g\left( x \right)} με \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 3}. Τότε \displaystyle{f\left( x \right) = \eta \mu \left( {3x} \right)g\left( x \right)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\eta \mu \left( {3x} \right)g\left( x \right)} \right) = 0 \cdot 3 = 0}.

Αφού η \displaystyle{f} συνεχής στο \displaystyle{x_o  = 0} (ως παραγωγίσιμη) έχουμε \displaystyle{f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0}

β)Έχουμε \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu 3x}} = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}}}{{3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}}} = 3} (Σχέση 1)

Επιπλέον \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}} \right) = 3\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\eta \mu u}}{u} = 3} ( όπου \displaystyle{u = 3x}).

Τότε στη σχέση 1 θέτω \displaystyle{\frac{{\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}}}{{3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}}} = h\left( x \right)} με \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} h\left( x \right) = 3} και \displaystyle{\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = 3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}h\left( x \right)}.

Άρα \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {3\frac{{\eta \mu 3x}}{{3x}}h\left( x \right)} \right) = 3 \cdot 3 = 9 \in \Re }.

Οπότε \displaystyle{f'\left( 0 \right) = 9}

γ) Η εφαπτομένη της \displaystyle{C_f } στο \displaystyle{A\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)} έχει εξίσωση \displaystyle{y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = 9x}

δ) Έστω ότι η εξίσωση \displaystyle{f'\left( x \right) = 0} έχει δύο διαφορετικές ρίζες \displaystyle{\rho _1 ,\rho _2 } στο διάστημα \displaystyle{\left( {0,2} \right)}. Τότε \displaystyle{f'\left( {\rho _1 } \right) = f'\left( {\rho _2 } \right) = 0} και επιπλέον η \displaystyle{f'} είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[ {\rho _1 ,\rho _2 } \right] \subset \left( {0,2} \right)} ως

παραγωγίσιμη (αφού η \displaystyle{f} δύο φορές παραγωγίσιμη) και παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα. Από θεώρημα \displaystyle{Rolle} λοιπόν, θα υπάρχει \displaystyle{h \in \left( {\rho _1 ,\rho _2 } \right)} τέτοιο ώστε

\displaystyle{f''\left( h \right) = 0}. Άτοπο, αφού \displaystyle{f''\left( x \right) \ne 0} για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0,2} \right)}. Συνεπώς η εξίσωση \displaystyle{f'\left( x \right) = 0} δεν μπορεί να έχει δύο ρίζες στο \displaystyle{\left( {0,2} \right)}.

ε) Θεωρώ τη συνάρτηση \displaystyle{h\left( x \right) = f\left( x \right) - 2 + x,x \in \left[ {0,2} \right]}. Η \displaystyle{h\left( x \right)} συνεχής στο \displaystyle{\left[ {0,2} \right]
} αφού η \displaystyle{f} συνεχής και επιπλέον

\displaystyle{h\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - 2 =  - 2 < 0} και

\displaystyle{h\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - 2 + 2 = 2 > 0}.

Από θεώρημα \displaystyle{Bolzano}, υπάρχει \displaystyle{\xi  \in \left( {0,2} \right)} τέτοιο ώστε \displaystyle{h\left( \xi  \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( \xi  \right) - 2 + \xi  = 0 \Leftrightarrow f\left( \xi  \right) = 2 - \xi }

στ) Η \displaystyle{f} ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα \displaystyle{\left[ {0,\xi } \right]} και \displaystyle{\left[ {\xi ,2} \right]}, όπου \displaystyle{
\xi }, το \displaystyle{\xi } του ερωτήματος (ε) και συνεπώς υπάρχουν

\displaystyle{x_1  \in \left( {0,\xi } \right)} και \displaystyle{x_2  \in \left( {\xi ,2} \right)} τέτοια ώστε

\displaystyle{f'\left( {x_1 } \right) = \frac{{f\left( \xi  \right) - f\left( 0 \right)}}{{\xi  - 0}} = \frac{{2 - \xi }}{\xi }} και

\displaystyle{f'\left( {x_2 } \right) = \frac{{f\left( 2 \right) - f\left( \xi  \right)}}{{2 - \xi }} = \frac{{2 - \left( {2 - \xi } \right)}}{{2 - \xi }} = \frac{\xi }{{2 - \xi }}}.

Οπότε \displaystyle{f'\left( {x_1 } \right) \cdot f'\left( {x_2 } \right) = \frac{{2 - \xi }}{\xi } \cdot \frac{\xi }{{2 - \xi }} = 1
}


Παντούλας Περικλής
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από perpant » Τρί Ιαν 17, 2012 2:25 am

ΑΣΚΗΣΗ 73η
Έστω η συνάρτηση\displaystyle{f\left( x \right) = \left( {\frac{{x^3 }}{6} + \frac{{x^2 }}{2} + x + 1} \right)e^{ - x} ,\,\,\,\,\,x \in \Re }.

i) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

iii) Να δείξετε ότι \displaystyle{e^x  \ge \frac{{x^3 }}{6} + \frac{{x^2 }}{2} + x + 1,\,\,\,x \in \Re }

iv)
Έστω η συνάρτηση \displaystyle{g:\Re  \to \Re } για την οποία ισχύει ότι: \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {e^{g\left( x \right)}  - g\left( x \right) - \frac{{g^3 \left( x \right)}}{6}} \right) = 1}. Να δείξετε ότι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 0}

Edit: Μπαϊλάκης(εκδόσεις Σαββάλας)


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από pito » Τρί Ιαν 17, 2012 10:08 am

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 73

a) Είναι f'(x)=e^{-x}(\frac{x^{2}}{2}+x+1)-e^{-x}(\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x+1)=-\frac{x^{3}}{6}e^{-x}

Είναι f'(x)<0\Rightarrow x^{3}>0\Rightarrow x>0, f'(x)>0\Rightarrow x<0, έτσι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,0] κσι γνησίως φθίνουσα στο [0,+\infty) και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x=0 το f(0)=1

Ακόμη f''(x)=\frac{-1}{6}(3x^{2}e^{-x}-x^{3}e^{-x})=\frac{x^{2}e^{-x}}{6}(x-3)
και f''(x)>0\Rightarrow x>3,   f''(x)<0\Rightarrow x<3
Έτσι η f είναι κοίλη στο (-\infty,3] και κυρτή στο [3,+\infty) και παρουσιάζει καμπή στο σημείο M(3,13e^{-3})

β) Είναι \Delta _{1}=(-\infty,0]\Rightarrow f(\Delta _{1})=(lim_{x\rightarrow -\infty}f(x),f(0)]=(-\infty,1] γιατί η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο \Delta _{1}και
lim_{x\rightarrow -\infty}(\frac{x^{3}}{6})=-\infty,lim_{x\rightarrow -\infty}e^{-x}=+\infty

και \Delta _{2}=[0,+\infty)\Rightarrow f(\Delta _{2})=(lim_{x\rightarrow +\infty}f(x),f(0)]=(0,1]
γιατί η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο \Delta _{2} και
lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x+1)'}{(e^{x})'}=lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(\frac{x^{2}}{2}+x+1)'}{(e^{x})'}=lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x+1)'}{(e^{x})'}=lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{e^{x}}=0

Άρα f(R)=f(\Delta _{1})\bigcup{f(\Delta _{2}})=(-\infty,1]

γ) Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(0)=1 άρα και
f(x)\leq 1\Rightarrow (\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x+1)e^{-x}\leq 1\Rightarrow e^{x}\geq \frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+x+1

δ) Είναι ( από το (γ) ερώτημα):
e^{g(x)}-\frac{g^{3}(x)}{6}-g(x)\geq \frac{g^{2}(x)}{2}+1\geq 1

και από κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει lim_{x\rightarrow 0}\frac{g^{2}(x)}{2}+1=1 (1)

Θέτω \varphi (x)=\frac{g^{2}(x)}{2}+1 με lim_{x\rightarrow 0}\varphi (x)=1
και |g(x)|=\sqrt{2(\varphi (x)-1)}\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}|g(x)|=0

και αφού -|g(x)|\leq g(x)\leq |g(x)|, από κριτήριο παρεμβολής είναι και
lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από pito » Τρί Ιαν 17, 2012 10:20 am

ΑΣΚΗΣΗ 74

Έστω f 3 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R τέτοια ώστε να ισχύει f(x)\leq \frac{f(a)+f(\beta )}{2} για κάθε x πραγματικό.

α) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{1}\in (a,\beta ) τέτοιο ώστε f'(x_{1})=0

β) Να δείξετε ότι f'(a)=f'(\beta )=0

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (a,\beta ) τέτοιο ώστε f'''(\xi )=0.

(Τσακουμάγκος, Μπαλωμένου- Ελληνοεκδοτική)


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Ιαν 17, 2012 11:28 am

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 74

Έστω f 3 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R τέτοια ώστε να ισχύει f(x)\leq \frac{f(a)+f(\beta )}{2} για κάθε x πραγματικό.

α) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{1}\in (a,\beta ) τέτοιο ώστε f'(x_{1})=0

β) Να δείξετε ότι f'(a)=f'(\beta )=0

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (a,\beta ) τέτοιο ώστε f'''(\xi )=0.

(Τσακουμάγκος, Μπαλωμένου- Ελληνοεκδοτική)


ΛΥΣΗ

α.
Έχουμε \displaystyle{f(x) \le \frac{{f(\alpha ) + f(\beta )}}{2},\forall x \in R}

Για \displaystyle{x = \alpha } έχουμε \displaystyle{f(\alpha ) \le \frac{{f(\alpha ) + f(\beta )}}{2} \Leftrightarrow f(\alpha ) \le f(\beta )} \displaystyle{(1)}

Ενώ για \displaystyle{x = \beta } έχουμε \displaystyle{f(\beta ) \le \frac{{f(\alpha ) + f(\beta )}}{2} \Leftrightarrow f(\beta ) \le f(\alpha )} \displaystyle{(2)}

Από \displaystyle{(1)}, \displaystyle{(2)} έχουμε \displaystyle{f(\alpha ) = f(\beta )}

\bullet \displaystyle{f} συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,\beta ]}, διότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R}

\bullet \displaystyle{f} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\alpha ,\beta )} , διότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R}

\bullet \displaystyle{f(\alpha ) = f(\beta )}

Από θεώρημα \displaystyle{Rolle} υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{x_1  \in (\alpha ,\beta )} τέτοιο ώστε \displaystyle{\boxed{f'(x_1 ) = 0}}

β.

Έχουμε \displaystyle{f(x) \le \frac{{f(\alpha ) + f(\beta )}}{2} = f(\alpha ) = f(\beta )} , \displaystyle{\forall x \in R} \displaystyle{(3)}

Από την \displaystyle{(3)} έχουμε οτι η \displaystyle{f} λαμβάνει μέγιστο στις θέσεις \displaystyle{x = \alpha } και \displaystyle{x = \beta }.

Οπότε απο θεώρημα \displaystyle{Fermat} έχουμε \displaystyle{\boxed{f'(\alpha ) = f'(\beta ) = 0}}

γ.

\bullet \displaystyle{{f'}} συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,x_1 ]} διότι είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R}

\bullet \displaystyle{{f'}} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\alpha ,x_1 )} διότι είναι δυο φορες παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R}


\bullet \displaystyle{f'(\alpha ) = f'(x_1 ) = 0}

Απο θεώρημα \displaystyle{Rolle} υπάρχει τουλάχιστον ένα \displaystyle{\xi _1  \in (\alpha ,x_1 )} τέτοιο ώστε \displaystyle{\boxed{f''(\xi _1 ) = 0}}


\bullet \displaystyle{{f'}} συνεχής στο \displaystyle{[x_1 ,\beta ]} διότι είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R}

\bullet \displaystyle{{f'}} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(x_1 ,\beta )} διότι είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R}

\bullet \displaystyle{f'(\beta ) = f'(x_1 ) = 0}


Απο θεώρημα \displaystyle{Rolle} υπάρχει τουλάχιστον ένα \displaystyle{\xi _2  \in (x_1 ,\beta )} τέτοιο ώστε \displaystyle{\boxed{f''(\xi _2 ) = 0}}


\bullet \displaystyle{{f''}} συνεχής στο \displaystyle{[\xi _1 ,\xi _2 ]} διότι είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R}

\bullet\displaystyle{{f''}} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\xi _1 ,\xi _2 )} διότι είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R}

\bullet\displaystyle{f''(\xi _1 ) = f''(\xi _2 ) = 0}

Απο θεώρημα \displaystyle{Rolle} υπάρχει τουλάχιστον ένα \displaystyle{\xi  \in (\xi _1 ,\xi _2 )} τέτοιο ώστε \displaystyle{\boxed {f'''(\xi ) = 0}}
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Πέμ Ιαν 19, 2012 8:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Ιαν 17, 2012 11:58 am

ΑΣΚΗΣΗ 75

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f} δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R} με \displaystyle{f^3 (x) + 3f(x) = x}, για κάθε \displaystyle{x \in R}

α. Να μελετηθεί η μονοτονία της \displaystyle{f}

β. Να αποδείξετε οτι η \displaystyle{f} αντιστρέφεται και να ορίσετε την \displaystyle{f^{ - 1} }

γ. Να βρεθεί το πρόσημο της \displaystyle{f}

δ. Να αποδείξετε οτι η \displaystyle{f} έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το οποίο και να προσδιορίσετε

ε. Αν \displaystyle{0 < \alpha  < \beta }, να αποδείξετε οτι \displaystyle{\frac{{f(\alpha )}}{\alpha } > \frac{{f(\beta ) - f(\alpha )}}{{\beta  - \alpha }}}

στ. i. Να βρεθεί η μονοτονία της \displaystyle{g(x) = f(x) - x}
ii. Να λυθεί η ανίσωση \displaystyle{f(x^2  - x) + x < x^2 }

Κ.Ρεκούμης & Κ.Λαγός (εκδόσεις Μεταίχμιο)


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από pito » Τρί Ιαν 17, 2012 9:50 pm

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 75

α) Είναι ( από παραγώγιση της δοσμένης ) 3f^{2}(x)f'(x)+3f'(x)=1\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{3f^{2}(x)+3}, f^{2}(x)+3>0\Rightarrow f'(x)>0
και η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

β) Η f είναι 1-1 άρα και αντιστρέψιμη, αφού είναι γνησίως αύξουσα.
Θέτω f(x)=y\Rightarrow x=f^{-1}(y) στην δοσμένη, άρα y^{3}+3y=x\Rightarrow f^{-1}(x)=x^{3}+3x, x\in R

Το σύνολο τιμών της f είναι το R γιατί αν θέσω f(x)=y είναι και
y^{3}+3y=x\Rightarrow f^{3}(x)+3f(x)-y^{3}-3y=0\Rightarrow (f(x)-y)(f^{2}(x)+f(x)y+y^{2})+3(f(x)-y)=0\Rightarrow (f(x)-y)(f^{2}(x)+f(x)y+y^{2}+3)=0

Άρα ή f(x)=y, ή f^{2}(x)+f(x)y+y^{2}+3=0 η οποία είναι αδύνατη γιατί \Delta =-3y^{2}-12<0.

Έτσι λοιπόν f(x)=y\Rightarrow f(R)=R\Rightarrow A_{f^{-1}}=R

γ) Για x=0 στην αρχική είναι f(0)(f^{2}(0)+3)=0\Rightarrow f(0)=0, f^{2}(0)+3\neq 0
Για x>0 και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα είναι f(x)>f(0)\Rightarrow f(x)>0
και για x<0\Rightarrow f(x)<f(0)\Rightarrow f(x)<0 και η f έχει μοναδική ρίζα το 0.

δ) Αν παραγωγίσω 2 φορές την αρχική σχέση είναι 6f(x)(f'(x))^{2}+3f^{2}(x)f''(x)+f''(x)=0  (2) .
Αν M(x_{o},f(x_{0}) σημείο καμπής της f θα πρέπει f''(x_{o})=0, αφού η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη.

Έτσι για x=x_{o}(2)\Rightarrow 6f(x_{o})(f'(x_{o}))^{2}=0\Rightarrow f(x_{o})=0, γιατί αν είχα
f'(x_{o})=0\Rightarrow 3f^{2}(x_{o})f'(x_{o})+f'(x_{o})=1\Rightarrow 0=1, άτοπο΄.
Έτσι είναι f(x_{o})=0=f(0)\Rightarrow x_{o}=0 αφού η f είναι 1-1.

Ακόμη για f''(x)=\frac{-6f(x)(f'(x))^{2}}{3f^{2}(x)+1}, άρα για x>0 και αφού (από το (γ)) είναι f(x)>0
θα είναι και f''(x)<0 και για x<0 θα είναι f''(x)>0.
Έτσι η f θα είναι κοίλη στο [0,+\infty) και κυρτή στο (-\infty,0], f''(0)=0.

Άρα το O(0,0) είναι σημείο καμπής της f

ε) Αρκεί να δείξω ότι \frac{f(a)-f(0)}{a-0}>\frac{f(\beta )-f(a )}{\beta -a} (3)

Η f είναι συνεχής στο [0,a], παραγωγίσιμη στο (0,a) και από ΘΜΤ υπάρχει
\xi _{1}\in (0,a)  \tau \omega f'(\xi _{1})=\frac{f(a)-f(0)}{a-0} και από ΘΜΤ στο [a,\beta  ]΄
θα υπάρχει \xi _{2}\in (a, \beta )  \tau \omega f'(\xi _{2})=\frac{f(\beta )-f(a )}{\beta-a }

Έτσι (3)\Leftrightarrow f'(\xi _{1})>f'(\xi _{2})\Leftrightarrow \xi _{1}<\xi _{2}  (4) ( η f' είναι γνησίως
φθίνουσα στο [0,+\infty) από το (δ) ερώτημα)
Η (4) ισχύει γιατί 0<a<\beta

ΣΤ) i) Είναι g'(x)=f'(x)-1, όμως από το (α) είναι f'(x)=\frac{1}{3f^{2}(x)+3}\Rightarrow f'(x)<1΄
διότι 1<3f^{2}(x)+3\Leftrightarrow \Leftrightarrow 3f^{2}(x)+2>0, που ισχύει.

Έτσι και g'(x)<0 και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R

ii)f(x^{2}-x)+x<x^{2}\Rightarrow f(x^{2}-x)-(x^{2}-x)<0\Rightarrow g(x^{2}-x)<g(0)\Rightarrow x^{2}-x>0,
αφού η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Άρα τελικά x\in (-\infty,0)\bigcup{(1,+\infty)}


EDIT: Είχα ξεχάσει να βρω το σύνολο τιμών της f. Ευχαριστώ τον κύριο Τηλέγραφο για την επισήμανση!
τελευταία επεξεργασία από pito σε Πέμ Φεβ 09, 2012 12:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από pito » Τετ Ιαν 18, 2012 12:06 am

ΑΣΚΗΣΗ 76

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty)\rightarrow R με την ιδιότητα e^{y}f'(x)-2xe^{y}=f'(\frac{x}{e^{y}})-\frac{2x}{e^{y}}  (1)

για κάθε x>0 και y πραγματικό καθώς και f'(1)=-6,  f(1)=3.

a) Να βρείτε την f'(x) για x>0.

β) Να βρείτε την f(x) στο (0,+\infty).

γ) Να βρείτε το ελάχιστο της f.

δ) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (0,+\infty) και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(1,f(1)).

ε) Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,\beta ,\gamma ισχύει a\beta \gamma =1 και a+\beta +\gamma =\frac{10}{3}, να δείξετε ότι a^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}>1.


( Χρήστος Πατήλας, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από KAKABASBASILEIOS » Τετ Ιαν 18, 2012 12:45 am

...στη χαρά της δημιουργίας...

ΑΣΚΗΣΗ 77

Έστω συνάρτηση f:[0,\,\,+\infty )\to R που είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα, για την οποία ισχύει ότι

f(x)+f(f(x))=2x,\,\,για κάθε x\in [0,\,\,+\infty )

α) Να δείξετε ότι f(x)\ge 0 για x\in [0,\,\,+\infty ) και ότι f(0)=0.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{\frac{{{e}^{f(x)}}}{f(x)}+\frac{f(x)}{f(x)-1}=0} έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,\,\,1).

γ)Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο {{x}_{0}}=1 να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο της A(1,\,f(1)).

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα-Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από chris » Τετ Ιαν 18, 2012 2:03 am

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 76

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty)\rightarrow R με την ιδιότητα e^{y}f'(x)-2xe^{y}=f'(\frac{x}{e^{y}})-\frac{2x}{e^{y}}  (1)

για κάθε x>0 και y πραγματικό καθώς και f'(1)=-6,  f(1)=3.

a) Να βρείτε την f'(x) για x>0.

β) Να βρείτε την f(x) στο (0,+\infty).

γ) Να βρείτε το ελάχιστο της f.

δ) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (0,+\infty) και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(1,f(1)).

ε) Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,\beta ,\gamma ισχύει a\beta \gamma =1 και a+\beta +\gamma =\frac{10}{3}, να δείξετε ότι a^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}>1.


( Χρήστος Πατήλας, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)


α)
Η δοθείσα για x=1,y=-lnx μιλώντας πάντα για θετικά x δίνει:
\displaystyle -6e^{-lnx}-2e^{-lnx}=f'\left(\frac{1}{e^{-lnx}} \right)-\frac{2}{e^{-lnx}}\Rightarrow \boxed{f'(x)=2x-\frac{8}{x},x>0}

β)
\displaystyle f'(x)=2x-\frac{8}{x}=\left(x^2-8lnx \right)'\Leftrightarrow f(x)=x^2-8lnx+c,x>0
και αφού f(1)=3 είναι τελικά c=2 και
\displaystyle \boxed{f(x)=x^2-8lnx+2,x>0}

γ)
\displaystyle f'(x)=\frac{2(x^2-4)}{x}=\frac{2\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}{x},x>0

Για x\geq 2 είναι γνήσια αύξουσα και για 0<x\leq 2 είναι γνήσια φθίνουσα(πινακάκι κτλ.) και άρα ολικό ελάχιστο στο x=2 το f(2)=6-8ln2.

δ)
\displaystyle f''(x)=\frac{8}{x^2}+2>0 άρα κυρτή!
Η εφαπτομένη:
\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\Rightarrow (\varepsilon ):y=-6x+9

ε)
\displaystyle f(x)\geq y_{\varepsilon \phi }\Rightarrow f(a)+f(b)+f(c)\geq -6(a+b+c)+27\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 8\left(lna+lnb+lnc \right)+1=8ln(abc)+1=1

Η ισότητα ισχύει μόνο στο σημείο επαφής άρα θα πρεπε: a=b=c=1 που είναι αδύνατο λόγω του αθροίσματος των τριών άρα:
a^2+b^2+c^2>1.


Στραγάλης Χρήστος
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από perpant » Τετ Ιαν 18, 2012 2:15 am

Μία βραδυνή, για να τη βρουν οι πρωινοί :lol:

ΑΣΚΗΣΗ 78η

Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g:\left( {0, + \infty } \right) \to R}, όπου η f είναι παραγωγίσιμη, με \displaystyle{f\left( 1 \right) =  - 1} και \displaystyle{f\left( e \right) = 0}, ώστε να ισχύει: \displaystyle{
e^{f'\left( x \right)}  = x + ce^{g\left( x \right)} }, για κάθε \displaystyle{x > o,c \in R}

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{\phi \left( x \right) = f\left( x \right) + x - x\ln x} ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα \displaystyle{\left[ {1,e} \right]}

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, ώστε \displaystyle{f'\left( \xi  \right) = \ln \xi }

γ) Να βρείτε την σταθερά \displaystyle{c}

δ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle{f}

Μπαϊλάκης- Εκδόσεις Σαβάλλα


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2054
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από R BORIS » Τετ Ιαν 18, 2012 7:01 am

1.\displaystyle{\phi } συνεχής και παραγωγίσιμη στο \displaystyle{[1,e]} ως πράξεις συνεχών και παρσγωγισίμων
\displaystyle{\phi (1)=-1+1-0=0,\phi (e)=0+e-e=0}
υπάρχει \displaystyle{\xi \in (1,e):\phi '(\xi )=0}

2.\displaystyle{\phi '(x)=f'(x)+1-lnx-x\frac{1}{x}=f'(x)-lnx,\forall x>0} άρα \displaystyle{0=\phi '(\xi )=f'(\xi )-ln(\xi )}

3.\displaystyle{e^{f'(\xi )}=\xi+ce^{g(\xi )}} οπότε \displaystyle{\xi =\xi +ce^{g(\xi )}\Rightarrow c=0} αφου \displaystyle{e^{g(\xi )}>0}

4.Από το 3ο έχουμε \displaystyle{e^{f'(x)}=x} ή \displaystyle{f'(x)=lnx=(xlnx-x)',x>0} και επειδή \displaystyle{f(1)=-1} παίρνουμε \displaystyle{f(x)=xlnx-x,x>0}
εκανα μια μικρή διόρθωση της αρχικής συνθήκης f(1)=-1


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από STOPJOHN » Τετ Ιαν 18, 2012 7:20 am

άσκηση 78
Έστελνα τη λύση της άσκησης αλλά την αποσύρω γιατί με πρόλαβε άλλος συνάδελφος βρήκα τη συνάρτηση f(x)=xlnx-x

φιλικά
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από STOPJOHN » Τετ Ιαν 18, 2012 7:26 am

Στο ερώτημα δ είναι f'(x)=(xlnx-x)'\Leftrightarrow f(x)=xlnx-x+c_{1},x=e,c_{1}=0,f(x)=xlnx-x

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τετ Ιαν 18, 2012 9:18 am

ΑΣΚΗΣΗ 79η

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{\displaystyle\ f(x) = xe^{\frac{1}{x}} ,x \in R^* }

α. Να μελετήσετε την συνάρτηση \displaystyle{f} ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

β. Να μελετήσετε την συνάρτηση \displaystyle{f} ως προς την κυρτότητα

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle{f}

δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{e^{\frac{1}{x}}  = \frac{\alpha }{x}}, για τις διάφορες τιμές του \displaystyle{\alpha  \in R}

ε. Να βρείτε το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {f\left( {\frac{1}{x}} \right) - \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x^2 }}} \right)}

Α.Μπάρλας (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από STOPJOHN » Τετ Ιαν 18, 2012 5:53 pm

Άσκηση 80
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ικανοποιεί τη συνθήκη \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+3h)-f(x_{0}-2h)}{h}=-10x_{0}e^{f(x_{0})}, x_{0}\varepsilon R,  f(0)=0 τότε
α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f
β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα -κυρτά
γ. Να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής

(Από το βιβλίο Γεώργιος Κομπότης Θεματογραφία Μαθηματικών Γ Λυκείου)

Γιάννης Σταματογιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες