Ένα Διαγώνισμα του 2011 στον Διαφορικό Λογισμό

#1

Την περασμένη εβδομάδα οι μαθητές μου έγραψαν ένα διαγώνισμα στον Διαφορικό Λογισμό. Οι πρώτες ερωτήσεις και των δύο ζητημάτων προέρχονται από το σχολικό βιβλίο:

Θέμα 1
Δίνεται η συνάρτηση
$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{x\ln x}}{{1 - x}}}&,&{0<x \ne 1}\\ {}&{}&{}\\ { - 1}&,&{x = 1} \end{array}} \right.}$
1) Να αποδείξετε ότι
α) H

είναι συνεχής.
β) $f^{\prime }\left( 1\right) =-\frac{1}{2}$
2) Να μελετήσετε την

ως προς την μονοτονία.
Θέμα 2
Δίνεται η συνάρτηση
$\displaystyle{f\left( x\right) =ax^{3}+3x^{2}+x+1\,,\,\,\,\,\,\,\,\,a \in \mathbb{R}^{*}}$
1) Να βρείτε τις τιμές του

για τις οποίες η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
2) α) Να αποδείξετε ότι για όλα τα

ισχύει $3f\left( x\right) -xf^{\prime }\left( x\right) >0$ .
β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της

.

Μαυρογιάννης

Pla.pa.s · #2

Θέμα 2
2)
α) 3f(x)-xf'(x)=3x^2+2x+3

με $\Delta=4-36<0$ άρα πράγματι 3f(x)-xf'(x)>0

για κάθε $x \in \mathbb R$ .
β) Αν $\alpha \geq 3$ τότε από το (1) η

είναι γνησίως μονότονη, συνεχής, άρα 1-1 κι επιπλέον $\displaystyle{f(\mathbb R)=\left(\lim_{x \rightarrow - \infty}(\alpha x^3+3x^2+x+1), \lim_{x \rightarrow + \infty} (\alpha x^3+3x^2+x+1)\right)= \mathbb R$ . Επειδή είναι και 1-1 θα έχει ακριβώς μια ρίζα.

Στην περίπτωση που
i) $\alpha \in (0,3)$ , τότε η

έχει δύο ρίζες r_1,r_2

για τις οποίες από το (α) προκύπτει ότι $3f(r_i)-r_if'(r_i)>0 \Leftrightarrow f(r_i)>0$ .
Επιπλέον η

είναι αρνητική στο (r_1, r_2)

και θετική στα άλλα δύο ανοικτά διαστήματα, συνεπώς $f \uparrow (- \infty, r_1]$ ,
$f \downarrow [r_1, r_2], f\uparrow [r_2, +\infty)$ . Επειδή όμως f(r_2)>0

, καταλήγουμε ότι f(x)>0

για

και επειδή f(r_1)>0

και η

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής άρα και 1-1 στο $(-\infty, r_1]$ καταλήγουμε ότι έχει ακριβώς μια ρίζα σε αυτό.
ii) $\alpha \in (-\infty, 0)$ , ακριβώς τα ίδια, μόνο που αντιστρέφεται η μονοτονία της

και ο ρόλος των r_1, r_2

στα αντίστοιχα διαστήματα.
iii) $\alpha =0$ , τότε f(x)=3x^2+x+1

με $\Delta=-11<0$ και άρα δεν έχει ρίζες.

Συνεπώς αν $\alpha=0$ τότε η

δεν έχει ρίζες, αλλιώς έχει ακριβώς μια ρίζα.

Ένα Διαγώνισμα του 2011 στον Διαφορικό Λογισμό

Ένα Διαγώνισμα του 2011 στον Διαφορικό Λογισμό

Re: Ένα Διαγώνισμα του 2011 στον Διαφορικό Λογισμό

Μέλη σε σύνδεση