Εύρεση τύπου

mathxl · #1

Αν $f: (0,\infty)\mapsto (0,\infty)$ και α>ο πραγματικός αριθμός ώστε να ισχύει για κάθε x>0 , $\displaystyle{ f'\left(\frac{a}{x}\right)=\frac {x}{f(x)} }$ , να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης f

02 Δεκεμβρίου 2005 , Putnam b3

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

$\displaystyle{ f'\left( {\frac{a}{x}} \right) = \frac{x}{{f(x)}} }$
άρα $\displaystyle{ f(x) \cdot f'\left( {\frac{a}{x}} \right) = x }$ (1)
όπου x το $\displaystyle{ \frac{a}{x} }$
$\displaystyle{ f\left( {\frac{a}{x}} \right) \cdot f'\left( x \right) = \frac{a}{x} }$ (2)
Πολ/άζω την (1) με $\displaystyle{ - \frac{a}{{x^2 }} }$
$\displaystyle{ - \frac{a}{{x^2 }}f(x) \cdot f'\left( {\frac{a}{x}} \right) = - \frac{a}{x} }$ (3)
Προσθέτω (2) , (3) και προκύπτει
$\displaystyle{ - \frac{a}{{x^2 }}f(x) \cdot f'\left( {\frac{a}{x}} \right) + f\left( {\frac{a}{x}} \right) \cdot f'\left( x \right) = 0 }$ δηλ. $\displaystyle{ \left( {f(x) \cdot f\left( {\frac{a}{x}} \right)} \right)^\prime = 0 }$ άρα
$\displaystyle{ f(x) \cdot f\left( {\frac{a}{x}} \right) = c }$
επομένως η (2) γίνεται $\displaystyle{ \frac{{c \cdot f'\left( x \right)}}{{f(x)}} = \frac{a}{x} }$ δηλ.
$\displaystyle{ ln\left( {f(x)} \right) = \frac{a}{c}\ln x + c_1 }$ και τελικά $\displaystyle{ f(x) = e^{c_1 } \cdot x^{\frac{a}{c}} }$ δηλ. $\displaystyle{ f(x) = k \cdot x^{\frac{a}{c}} ,k > 0 }$

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση