Από διακοπές στην Σάμο

#1

1.Aν $f^{\prime}(x)+g(x)=1,\sqrt{g^{\prime}(x)}=f^{\prime}(x)$ για κάθε x στο $(0,+\infty)$ και $f^{\prime}(1)=1,f(1)=0$ να δείξετε ότι $g(x)\le f(x)\le x-1$ για κάθε x στο $[0,+\infty)$

2.Aν $g^{\prime}(x)=g^2(x)+1,\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)},f(0)=0,f^{\prime}(0)=1$ για κάθε x στο $[0,+\pi/2)$ να δείξετε ότι $f(x)\le x\le g(x)$ για κάθε x στο $[0,+\pi/2)$

Αν θέλετε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε 2 τρόπους: Είτε βρίσκοντας του τύπους των f,g είτε όχι για την λύση των 2 αυτών διακοπο-ασκήσεων
ΕΚΑΝΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΤΗΝ ΕΚΦΩΝΗΣΗ

#2

1. Για x>1 είναι
$g^{\prime}\geq 0\Rightarrow g \uparrow\Rightarrow f^{\prime}\downarrow\Rightarrow f^{\prime}(x)<f^{\prime}(1)=1\Rightarrow f-x\downarrow \Rightarrow f(x)-x<f(1)-1=-1$
αντίστοιχα όταν 0<x<1
Θέτω $h=f-g\Rightarrow h^{\prime}=f^{\prime}-g^{\prime}=f^{\prime}(1-f^{\prime})$ και από τα προηγούμενα παίρνουμε ότι $x>1\Rightarrow 1-f^{\prime}>0\Rightarrow h^{\prime}>0$ ενω για $x<1\Rightarrow 1-f^{\prime}<0\Rightarrow h^{\prime}<0$ οπότε $0=h(1)=min \Rightarrow f(x)>g(x)$

παρόμοιας νοοτροπίας είναι και η 2η Τους άλλους τρόπους ως εξάσκηση στους μαθητές μας

#3

2.θέτω $\displaystyle{g=tanu\Rightarrow g'=(1+tan^2u)u'=(1+g^2)u'\Rightarrow u'=1\Rightarrow u=x+c}$ επειδή $\displaystyle{u(0)=0\Rightarrow u=x\Rightarrow g=tanx }$

άρα $\displaystyle{f/f'=tanx\Rightarrow f'sinx-fcosx=0\Rightarrow f=csinx\Rightarrow f'=ccosx \Rightarrow f'(0)=ccos0\Rightarrow c=1\Rightarrow f=sinx\le x}$

$\displaystyle{g'=1+g^2\ge 1\Rightarrow g-x\uparrow \Rightarrow g-x\ge g(0)-0=0\Rightarrow g\ge x\ge f}$

Από διακοπές στην Σάμο

Από διακοπές στην Σάμο

Re: Από διακοπές στην Σάμο

Re: Από διακοπές στην Σάμο

Μέλη σε σύνδεση