Μέγιστη τιμή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Έστω $\displaystyle{ f:\left( {a,\beta } \right) \to R }$ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ x_o \in \left( {a,\beta } \right) }$ , $\displaystyle{ f'(x) \ne 0 }$ για κάθε χ στο (α,β) με $\displaystyle{ x \ne x_o }$ ώστε η f έχει τοπικό μέγιστο στο $\displaystyle{ x_o }$ . Τότε η f παίρνει μέγιστη τιμή στο (α,β).

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Έστω $\displaystyle{ f:\left( {a,\beta } \right) \to R }$ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ x_o \in \left( {a,\beta } \right) }$ , $\displaystyle{ f'(x) \ne 0 }$ για κάθε χ στο (α,β) με $\displaystyle{ x \ne x_o }$ ώστε η f έχει τοπικό μέγιστο στο $\displaystyle{ x_o }$ . Τότε η f παίρνει μέγιστη τιμή στο (α,β).

Αριστερά του χ(0) η f ' διατηρεί πρόσημο γιατί αν έπαιρνε και θετικές και αρνητικές τιμές, τότε κάπου θα μηδενιζόταν (λόγω Darboux, βλέπε όμως παρακάτω). Έτσι η f είναι μονότονη και μάλιστα αύξουσα καθώς η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ(0). Όμοια δεξιά του χ(0) η f είναι φθίνουσα. Άρα στο χ(0) έχουμε ολικό μέγιστο.

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου.

Σχόλιο: Το Darboux είναι βέβαια εκτός ύλης. Στο παραπάνω όμως δεν χρειάζεται όλη η δύναμή του. Μας αρκεί το εξής: Αριστερά του χ(0) η f είναι μονότονη γιατί αλλιώς δεν θα ήταν 1-1 (η μονοτονία και το 1-1 είναι ισοδύναμες έννοιες για συνεχείς συναρτήσεις σε διαστήματα, λόγω Bolzano). Έτσι υπάρχουν x_1, x_2

με

. Άτοπο από Rolle.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

Ευχαριστώ Μιχάλη για την λύση.Την τοποθέτησα εδώ Αναζητώντας μια σχολικη λύση και όχι εφαρμογή του θεωρήματος Darboux που μας λύνει τα χέρια...

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Ευχαριστώ Μιχάλη για την λύση.Την τοποθέτησα εδώ Αναζητώντας μια σχολικη λύση και όχι εφαρμογή του θεωρήματος Darboux που μας λύνει τα χέρια...

Στράτο,

Ωραία λοιπόν που αποφεύγεται το Darboux.
Σπεύδω όμως να προσθέσω ότι το σχόλιο που έβαλα είναι
(ουσιαστικά και κρυφά) απόδειξη του Darboux.
Του θεωρήματος αυτού ξέρω τρεις ή τέσσερις αποδείξεις. Αυτά που
έχω στο σχόλιο είναι ουσιαστικά τα κύρια βήματα για μία από αυτές τις αποδείξεις.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:...η μονοτονία και το 1-1 είναι ισοδύναμες έννοιες για συνεχείς συναρτήσεις σε διαστήματα, λόγω Bolzano)...

Καλή σας μέρα. Μιχάλη θα μπορούσαμε να παραμερίσουμε την χρήση αυτής της πρότασης-όχι όμως και τις ιδέες της- πληρώνοντας βέβαια το τίμημα σε έκταση αλλά κάνοντας την λύση "πιο σχολική" ως εξής:
Θέλουμε $f\left( x\right) \leq f\left( x_{0}\right)$ για κάθε $x\in \left( \alpha ,\beta \right)$ . Ας υποθέσουμε παω αυτό δεν ισχύει. Θα υπάρχει τότε κάποιο $x_{1}\in \left( \alpha ,\beta \right)$ με $f\left( x_{1}\right) >f\left( x_{0}\right)$ . Ας πούμε ότι $x_{1}<x_{0}$ . Αφού η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x_0

θα υπάρχει $x_{2}<x_{0}$ έτσι ώστε $f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{0}\right)$ . Φυσικά $x_{2}\neq x_{1}$ . Δε μπορεί να είναι $f\left( x_{2}\right) =f\left( x_{0}\right)$ διότι τότε από θεώρημα Rolle θα είχαμε μία ρίζα της $f^{\prime }$ στο $\left( x_{2},x_{0}\right)$ . 'Αρα είναι $f\left( x_{2}\right) <f\left( x_{0}\right)$ . Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:
1) $x_{2}<x_{1}<x_{0}$
2) $x_{1}<x_{2}<x_{0}$
Στην πρώτη περίπτωση η

θά έχει στο $\left[ x_{1},x_{0}\right]$ μέγιστο που θα παρουσιάζεται σε εσωτερικό σημείο του $\left[ x_{1},x_{0}\right]$ .
Στην δεύτερη περίπτωση στο $\left[ x_{1},x_{0}\right]$ η

θα παρουσίαζε ελάχιστο ελάχιστο σε εσωτερικό σημείο του.
Και στις δύο περιπτώσεις από το θεώρημα του Fermat θα έχουμε μία ρίζα της $f^{\prime }$ μικρότερη του $x_{0}$ .
Μαυρογιάννης

#6

Μετά το σχόλιο του Μιχάλη
(Αριστερά του χ(0) η f είναι μονότονη γιατί αλλιώς δεν θα ήταν 1-1 (η μονοτονία και το 1-1 είναι ισοδύναμες έννοιες για συνεχείς συναρτήσεις σε διαστήματα, λόγω Bolzano). Έτσι υπάρχουν $\displaystyle{x_1, x_2}$ με $\displaystyle{f(x_1)= f(x_2)}$ . Άτοπο από Rolle)
Νομίζω ότι το θ Darboux δεν παίζει κανένα ρόλο γιατί αφού η f είναι μονότονη εκατέρωθεν του $\displaystyle{x_0}$ ,λόγω τοπικού μεγίστου και συνέχειας, δεν μπορεί παρά να είναι γνήσια αύξουσα αριστερά και γνήσια φθίνουσα δεξιά του $\displaystyle{x_0}$ . Δεν βλέπω πουθενά Darboux εκτός αν δεν κατάλαβα κάτι?

#7

R BORIS έγραψε:Νομίζω ότι το θ Darboux δεν παίζει κανένα ρόλο γιατί αφού η f είναι μονότονη εκατέρωθεν του $\displaystyle{x_0}$ ,λόγω τοπικού μεγίστου και συνέχειας, δεν μπορεί παρά να είναι γνήσια αύξουσα αριστερά και γνήσια φθίνουσα δεξιά του $\displaystyle{x_0}$ . Δεν βλέπω πουθενά Darboux εκτός αν δεν κατάλαβα κάτι?

Ροδόλφε, πραγματικά το Darboux αποφεύγεται. Απλά η πρώτη απόδειξη που έδωσα, είχε Darboux χάριν συντομίας. Έγραψα όμως τότε ότι μπορούμε να παρακάμψουμε το Darboux. Συγχρόνως, έδωσα μία τεχνική απόδειξής του με χρήση μονοτονίας.

Φιλικά,

Μιχάλης

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση