ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

S.E.Louridas · #1

Πρόβλημα θεωρητικού τύπου:

Θεωρούμε συνάρτηση
$f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R},$
που είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (a,b) με f(a)=f(b)=0. Να αποδείξετε ότι για κάθε συνάρτηση
$g:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R},$
που είναι συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (a,b),υπάρχουν
$x_1 ,x_2 \in \left( {a,b} \right):f'\left( {x_1 } \right)f'\left( {x_2 } \right) + g'\left( {x_1 } \right)g'\left( {x_2 } \right)f\left( {x_1 } \right)f\left( {x_2 } \right) = 0.$

S. E. Louridas

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Στέλιος Μαρίνης · #3

socrates έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Rolle για τις $f(x)e^{g(x)},f(x)e^{-g(x)}$ στο

Αλήθεια, πώς εξασφαλίζεις ότι τα χ1,χ2 είναι διαφορετικά; ΑΝ αυτό δε ζητείται, αρκεί η μία μόνο περίπτωση. Εγώ σ΄αυτό κόλλησα πάντως.

S.E.Louridas · #4

Φίλε Socrates
Αφού σε ευχαριστήσω που ασχολήθηκες με το πρόβλημα ,η λύση είναι αυτή που εδωσες.
Φιλε Στέλιο
Δέν έδωσα έμφαση στήν διαφορετικότητα (με την έννοια του 'πάντοτε') καθότι οδηγέί σε διερευνητικά βήματα
που ξεφεύγουν από την Γ Λυκείου μέ την έννοια ότι πολλοι μαθητές τα παρακάμπτουν.Θά το εξετάσουμε σε άλλη στήλη για να δώσουμε εκεί διδακτική έμφαση.Σας ευχαριστώ και πάλι.
Με ολη μου την εκτίμηση

Σωτήρης Ε.Λουρίδας

#5

Δίνω άλλη λύση που δείχνει με διαφανή τρόπο ότι έχουμε μεγάλο βαθμό ελευθερίας στην επιλογή των χ1, χ2.

Για p οποιδήποτε στοιχείο του (α, β) με $f ' (p) \ne 0$ (αν δεν υπάρχει τέτοιο τότε f σταθερή, οπότε η άσκηση είναι τετριμμένη) κάνουμε Rolle στην
$f(x) e^{g'(p)f(p)g(x)/f'(p)}$ και λοιπά.

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου

#6

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Αλήθεια, πώς εξασφαλίζεις ότι τα χ1,χ2 είναι διαφορετικά; ΑΝ αυτό δε ζητείται, αρκεί η μία μόνο περίπτωση. Εγώ σ΄αυτό κόλλησα πάντως.

Στέλιο,

Μπορούμε να το εξασφαλίσουμε ως εξής: Έστω ότι μία λύση της
f'(x)f'(y) + g'(x)g'(y)f(x)f(y) = 0

είναι η

.
Τότε ισχύει (f'(p))^2 + (g'(p)f(p))^2 = 0

και άρα

.
Οπότε για οποιοδήποτε q (και επιλέγουμε $q \ne p$ ) ισχύει
f'(p)f'(q) + g'(p)g'(q)f(p)f(q) = 0 + 0 =0

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ.
Τις προάλλες είχαμε την κουβέντα
σου με τον Γιώργο Δα... από Ρέθυμνο.
Χαιρετίσματα.

S.E.Louridas · #7

Ας μου επιτραπεί να διευκρινίσω γιατί ήθελα να δώσω έμφαση στην τεχνική περισσότερο της επίλυσης.
Πιστεύω (πάντα υπό κρίση), ότι όπως δόθηκε το πρόβλημα οδηγεί σίγουρα και σε διερευνητική διαδικασία που είχα σκοπό ,γενικότερα, να την ανοίξω στον φάκελο του καθηγητή με το ερώτημα :
Πότε ο μαθητής- λύτης θα πρέπει να αντιλαμβάνεται την ανάγκη διερεύνησης ώστε η διαδικασία επίλυσης να είναι πλήρης;

Κατά την διαδικασία ,λοιπόν ,της επίλυσης (Rolle κ.τ.λ.) παράκαμψα το σημείο που έπεται από την ισχύ των σχέσεων
$f'\left( {x_1 } \right) = g'\left( {x_1 } \right)f\left( {x_1 } \right)......\left( a \right) \wedge f'\left( {x_2 } \right) = - g'\left( {x_2 } \right)f\left( {x_2 } \right).......\left( b \right),$
δηλαδή το :αν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες των (a), (b) είναι 0 τότε η ζητούμενη σχέση ισχύει για τουλάχιστον δυο διαφορετικές τιμές του x .Αν τώρα όλοι οι παράγοντες των (a),(b) είναι διάφοροι από το 0 τότε δεν μπορεί
x_1 = x_2 ,

αφού με πρόσθεση κατά μέλη θα είχαμε
$f'\left( {x_1 } \right) = 0.$
Όμως o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ διάλογος και η παρέμβαση του Μιχάλη του Λάμπρου που έκανε την επιστημονική ανάλυση στο θέμα έδωσαν την σωστή τελικά διάσταση.

S.E.Louridas

Στέλιος Μαρίνης · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Αλήθεια, πώς εξασφαλίζεις ότι τα χ1,χ2 είναι διαφορετικά; ΑΝ αυτό δε ζητείται, αρκεί η μία μόνο περίπτωση. Εγώ σ΄αυτό κόλλησα πάντως.
Στέλιο,

Μπορούμε να το εξασφαλίσουμε ως εξής: Έστω ότι μία λύση της
είναι η .
Τότε ισχύει και άρα .
Οπότε για οποιοδήποτε q (και επιλέγουμε $q \ne p$ ) ισχύει
, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ.
Τις προάλλες είχαμε την κουβέντα
σου με τον Γιώργο Δα... από Ρέθυμνο.
Χαιρετίσματα.

Χαιρετίζω τους συναδέλφους του ... ακριτικού μας Νότου

Με είχε ζαλίσει ο κοινός μας φίλος για σένα, φίλε Μιχάλη. Η εδώ σεμνή και ταυτόχρονα καταλυτική παρουσία σου επιβεβαιώνει όσα μου έχει πει, αλλά και όσα ως αίσθηση είχα χωρίς να γνωριζόμαστε καλά.
Ευχαριστώ για την απάντηση στην απορία μου. Η απορία μου αυτή πάντως οφειλόταν σε λάθος στις πράξεις που έκανα στον αέρα από βιασύνη. Έχοντας βρει ότι υπάρχει χ1, ώστε f΄(χ1)=-g'(χ1)f(χ1), έψαχνα χ2 που να επαληθεύει την ίδια ισότητα (

) και όχι f΄(χ2)=g'(χ2)f(χ2)
Γι΄αυτό εξάλλου είπα ότι θα αρκούσε η μία εφαρμογή του Rolle.

Η κρυμμένη αιτία ήταν πρόβλημα που έχω αντιμετωπίσει στην κατασκευή ασκήσεων που ζητούνται δύο τιμες του χ. Την έχω στο παρελθόν πατήσει φτιάχνοντας ασκήσεις που μου φαίνονταν όμορφες και ήταν πατάτα

, αφού αρκούσε να πάρει κάποιος χ1=χ2

#9

Με αφορμή τον ωραίο διάλογο που αναπτύχθηκε θεωρώ, όπως και ο Σωτήρης ,καλό να ανοίξουμε στο φάκελο του Καθηγητή ένα νέο εδάφιο με θέμα :

'' Διερεύνηση: πότε είναι απαραίτητη ;''

Εκεί θα προσπαθήσουμε να εντοπίσουμε και να καταδείξουμε τις πιο βασικές περιπτώσεις από την Άλγεβρα, την Γεωμετρία , την Ανάλυση κλπ όπου μόνο μετά από σχετική διερεύνηση η λύση είναι πλήρης.
Πρέπει προκαταβολικά να αναφέρω ότι στα νυν σχολικά μαθηματικά και χάριν κυρίως διδακτικών λόγων, οι λύσεις ''στρογγυλεύονται '' , σε βάρος βέβαια της αυστηρότητας . Αυτό δεν είναι φυσικά κακό, ωστόσο ο δάσκαλος πρέπει να γνωρίζει την πλήρη διαδικασία και σε ορισμένες πολύ χαρακτηριστικές περιπτώσεις να εξετάζει και τυχόν λεπτομέρειες του προβλήματος, κάτι που και οι μαθητές χαίρονται.
Αν για παράδειγμα στη διατύπωση ενός γεωμετρικού προβλήματος δίνεται ότι το Μ είναι σημείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου και μεις λύσουμε την άσκηση παίρνοντας το σημείο Μ ως εσωτερικό, τότε τίθεται το ερώτημα :

''Πρέπει ή όχι να εξετάσουμε αν το ζητούμενο ισχύει και στην περίπτωση που το Μ είναι άκρο της πλευράς ;''

Όσο και αν σε μας αυτό το ερώτημα φαίνεται υπερβολικό, διαπίστωσα ότι στις Ολυμπιάδες , αλλά και σε άλλες χώρες ( πχ στη Γερμανία) , εξετάζονται και αυτές οι ειδικές περιπτώσεις.Μάλιστα , για τέτοιες παραλείψεις αφαιρούνται συχνά και βαθμοί. Γιαα αυτό, αν ο θεματοδότης ή η επιτροπή εξέταασης δεν θέλει τη διερεύνηση, αναφέρει ρητά :το Μ είναι διαφορετικό από τα άκρα !

Προσωπικά δεν έμπαινα συχνά σε αυτή τη διεξοδική διερεύνηση( το είπα : χάριν απλούστευσης και επικέντρωσης στην ουσία του προβλήματος), αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η απλούστευση πρέπει πάντα να είναι και κανόνας.

Άλλο παράδειγμα είναι αυτό που κουβεντιάσαμε σε αυτή την άσκηση. Όταν λοιπόν ωριμάσει ο προβληματισμός, θα είναι πολύ δημιουργικό να ανοίξουμε το θέμα '' διερεύνηση'', μια και όλοι μας θα εξάγουμε από την ανταλλαγή απόψεων χρήσιμα συμπεράσματα .

Μπάμπης

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ.

Μέλη σε σύνδεση