2 εξισώσεις

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Να δείξετε ότι καθεμιά από τις εξισώσεις $\displaystyle{ \sin \left( {\cos x} \right) = x }$ (1) και $\displaystyle{ \cos \left( {\sin x} \right) = x }$ (2) έχει μία ακριβώς ρίζα στο $\displaystyle{ \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) }$
Αν $\displaystyle{ x_1 }$ είναι η ρίζα της (1) και $\displaystyle{ x_2 }$ είναι η ρίζα της (2) στο $\displaystyle{ \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) }$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{ x_1 < x_2 }$

Kαι ένα σχήμα την ομορφαίνει ...

#2

Επειδή τα πάντα είναι θετικά στο (0,π/2) εχουμε
sinx<x [1] αρα όπου x το cosx δίνει sin(cosx)<cosx [2]
από την [1] παἰρνοντας cos που είναι φθἰνουσα στο (0,π/2) παίρνουμε cos(sinx)>cosx [3]
από [2],[3] sin(cosx)<cos(sinx) [4]
αν a:f(a)=sin(cosa)/a=1 και b:g(b)=cos(sinb)/b=1 και ήταν b<a τότε εύκολα g φθίνουσα οπότε g(b)>g(a) ή f(a)>g(a) η sin(cosa)>cos(sinα) άτοπο από την [4]

.Οι ανισότητες είναι παντού γνήσιες
.Τα sinx , cosx είναι αριθμοί του (0,π/2)
.Η απόδειξη της μονοτονίας δεν χρειάζεται παραγώγους
.Η [1] είναι γνωστή ανίσωση

2 εξισώσεις

2 εξισώσεις

Re: 2 εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση