Άσκηση

konkyr · #1

Έστω η συνάρτηση f με f΄΄>0 για κάθε χ $\in R$ .Αν υπάρχει α $\in R$ τέτοιο ώστε f΄(α) > 0 , να αποδείξετε ότι :

$\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=+\propto$

#2

Η συνάρτηση f ' είναι γνησίως αύξουσα.
Έστω x>a

. Τότε υπάρχει a<c(x)<x

, τέτοιο ώστε

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c(x))>f'(a)$ .

Επομένως,

f(x) > (x-a)f'(a)+f(a)

για κάθε

, κι αφού

, παίρνοντας $x\to +\infty$ , το συμπέρασμα έπεται.

Αχιλλέας

konkyr · #3

Πολύ σωστά!

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Μπορούμε να πούμε επειδή η f είναι κυρτή θα είναι πιο ψηλά από την εφαπτομένη της; Και να προχωρήσουμε Αχιλλέα όπως προχώρησες στις 2 τελευταίες γραμμές; Δηλαδή,

f(x)>y (εφαπτομένη της f στο χ=α) οπότε, f(x) > (x-a)f'(a)+f(a)

για κάθε

, κι αφού

, παίρνοντας $x\to +\infty$ έπεται το ζητούμενο;;

#5

Ναι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της κυρτότητας.
Οι δύο ισχυρισμοί είναι ουσιαστικά ισοδύναμοι.

Αχιλλέας

Άσκηση

Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Μέλη σε σύνδεση