Ευρεση παραμετρων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλημερα,

Ασκηση
Να βρεθουν οι θετικοι αριθμοί α, β ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \frac{{ax + \beta }}{{x^2 + 2x + 3}} }$ να εχει μεγιστη τιμή το 1 και ελάχιστη το -2.

Α.Κυριακόπουλος · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Καλημερα,

Ασκηση
Να βρεθουν οι θετικοι αριθμοί α, β ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \frac{{ax + \beta }}{{x^2 + 2x + 3}} }$ να εχει μεγιστη τιμή το 1 και ελάχιστη το -2.

Λύση.
Το σύνολο ορισμού της συνάρτησης f είναι το R, γιατί η διακρίνουσα του τριωνύμου στο παρονομαστή είναι αρνητική. Για να είναι το 1 μέγιστη τιμή της f πρέπει και αρκεί (βλέπε: « Ο φάκελος του καθηγητή», Ανάλυση, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-- ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ, εδώ viewtopic.php?f=61&t=2982 ):
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \exists x \in R,f(x) = 1 \\ \forall x \in R,f(x) \le 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {\alpha ^2} - 4\alpha + 4\beta - 8 = 0}$ (1)
Για να είναι το -2 ελάχιστη τιμή της f πρέπει και αρκεί:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \exists x \in R,f(x) = - 2 \\ \forall x \in R,f(x) \ge - 2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {\alpha ^2} + 8\alpha - 8\beta - 32 = 0}$ (2)
Άρα, για να συμβαίνουν τα ζητούμενα, πρέπει και αρκεί:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} (1) \\ (2) \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (\alpha = 4,\beta = 2)}$
Λάβαμε υπόψη μας ότι τα α και β είναι θετικοί αριθμοί. Άρα, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: α=4 και β=2.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

Ευχαριστώ κ.Κυριακόπουλε για την παραπομπή, απαραμιλλης σπουδαιοτητας το αρθρο των συναρτησεων καθώς και η εξαιρετική προσπάθεια του Κωστα Σεριφη με τις απαντησεις-υποδειξεις!! Να ειστε καλά.

Ευρεση παραμετρων

Ευρεση παραμετρων

Re: Ευρεση παραμετρων

Re: Ευρεση παραμετρων

Μέλη σε σύνδεση