παρόμοια μέ τού ΑΣΕΠ
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
παρόμοια μέ τού ΑΣΕΠ
Έστω η συνάρτηση
Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος για κάθε χ και να εξεταστεί αν η παράγωγος είναι συνεχής .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε θετικό η συνάρτηση δεν είναι αύξουσα στο (-ε,ε)
Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος για κάθε χ και να εξεταστεί αν η παράγωγος είναι συνεχής .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε θετικό η συνάρτηση δεν είναι αύξουσα στο (-ε,ε)
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: παρόμοια μέ τού ΑΣΕΠ
επαναφορά
με ενδιαφέρει κυρίως το τελευταίο ερώτημα,
υπάρχει άραγε σχολική λύση σε αυτό;
με ενδιαφέρει κυρίως το τελευταίο ερώτημα,
υπάρχει άραγε σχολική λύση σε αυτό;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: παρόμοια μέ τού ΑΣΕΠ
Κάνω μόνο το τελευταίο μέρος γιατί τα υπόλοιπα είναι ρουτίνα.smar έγραψε:Έστω η συνάρτηση
Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος για κάθε χ και να εξεταστεί αν η παράγωγος είναι συνεχής .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε θετικό η συνάρτηση δεν είναι αύξουσα στο (-ε,ε)
Θα χρησιμοποιήσω τα
α) Στο πρώτο τεταρτημόριο είναι (για την απόδειξη δείχνουμε με παραγώγους ότι η είναι αύξουσα),
β) Για μικρά θετικά είναι (για την απόδειξη εξετάζουμε το όριο στο της , το οποίο είναι άρα, αργά ή γρήγορα ).
Αρκεί να δείξουμε ότι η δοθείσα έχει παράγωγο που παίρνει (και) αρνητικές τιμές σε οποιαδήποτε περιοχή του . Η παράγωγος που εξετάζουμε είναι η .
Θέτουμε , που βέβαια τείνει στο .
Τότε
,
όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Μιχάλης
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: παρόμοια μέ τού ΑΣΕΠ
Διαφορετικά:
Όπως και στην λύση του Μιχάλη αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση παίρνει και αρνητικές τιμές σε κάθε διάστημα που περιέχει το 0. Έχουμε για κάθε . Επίσης για κάθε έχουμε Άρα για . Επομένως για , επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο με η είναι φθίνουσα κοντά στο και επειδή επιπλέον , έπεται ότι η θα παίρνει και αρνητικές τιμές κοντά στο . Αφού η ακολουθία τείνει στο 0, τότε τελειώσαμε.
----------------------
Η πιο πάνω συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με χωρίς να είναι αύξουσα σε κάποια περιοχή του . Μια διαφορετική συνάρτηση με αυτήν την ιδιότητα είναι η . Αυτή έχει το πλεονέκτημα ότι βλέπουμε απευθείας ότι δεν είναι αύξουσα σε κανένα διάστημα του 0 αφού .
Όπως και στην λύση του Μιχάλη αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση παίρνει και αρνητικές τιμές σε κάθε διάστημα που περιέχει το 0. Έχουμε για κάθε . Επίσης για κάθε έχουμε Άρα για . Επομένως για , επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο με η είναι φθίνουσα κοντά στο και επειδή επιπλέον , έπεται ότι η θα παίρνει και αρνητικές τιμές κοντά στο . Αφού η ακολουθία τείνει στο 0, τότε τελειώσαμε.
----------------------
Η πιο πάνω συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με χωρίς να είναι αύξουσα σε κάποια περιοχή του . Μια διαφορετική συνάρτηση με αυτήν την ιδιότητα είναι η . Αυτή έχει το πλεονέκτημα ότι βλέπουμε απευθείας ότι δεν είναι αύξουσα σε κανένα διάστημα του 0 αφού .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες