Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

#1

Έστω συνάρτηση f : [0,1]->[0,1], μη σταθερή και συνεχής . Να αποδείξετε πως υπάρχουν χ1, χ2 στο [0,1]
(χ1 διαφορετικό απο το χ2), τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ |f(x_1 ) - f(x_2 )| = |x_1 - x_2 |^2 }$

#2

Xρήστο δεν έχω σχολική λύση και θα χαρώ να δω μία. Θα γράψω μία εξωσχολική.
Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι δε μπορεί να είναι
$\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| \leq \left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2}$
για όλα τα x_1

,

διότι τότε η

θα ήταν σταθερή (άσκηση του σχολικού βιβλίου)
Επομένως θα υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών $x_{1},x_{2}$ έτσι ώστε
$\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| >\left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2}$ (1)
Επίσης υπάρχει και ένα ζεύγος αριθμών $x_{1},x_{2}$ ώστε
$\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| \leq \left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2}$ (2)
για παράδειγμα το ζεύγος $x_{1}=0,\,\,x_{2}=1$
Θεωρούμε τώρα το $D=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right]$ που είναι συνεκτικό υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$ και την συνεχή συνάρτηση $F:D\rightarrow \mathbb{R}$ με
$F\left( x,y\right) =\left| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right| -\left| x-y\right| ^{2}$
Το $F\left( D\right)$ είναι ένα συνεκτικό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ δηλαδή ένα διάστημα που περιέχει
(α) ένα θετικό αριθμό λόγω της (1) και
(β) ένα αριθμό μικρότερο ή ίσο του μηδενός λόγω της (2).
Επομένως θα περιέχει το 0 που σημαίνει ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}$ ώστε $F\left( x_{1},x_{2}\right) =0$ δηλαδή
$\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| =\left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2}$
Μαυρογιάννης

#3

Νίκο ευχαριστώ για τη λύση, θα προσπαθήσω κι εγώ για κάτι πιο ''σχολικό''.
Ή κάποιος άλλος συνάδελφος, αν θελήσει να ασχοληθεί!

#4

nsmavrogiannis έγραψε:...Επομένως θα υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών $x_{1},x_{2}$ έτσι ώστε
$\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| >\left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2}$ (1)...

Μία ιδέα είναι νά αποδειχθεί ότι υπάρχει $x\in({0,1})$ , τέτοιος ώστε $|{f(x)-f(1-x)}|>|{x-({1-x})}|^2=|{2x-1}|^2$ , άν καί δέν τό έχω εξετάσει.

#5

H ιδέα του Γρηγόρη πηγαίνει προς την αντίστοιχη της λύσης που διαθέτω.
Θεωρεί τη συνάρτηση g με:

$\displaystyle{ g(t) = |f(\left( {1 - t} \right)x_1 + t) - f\left( {\left( {1 - t} \right)x_2 } \right)| - |\left( {1 - t} \right)x_1 + t - \left( {1 - t} \right)x_2 |^2 ,t \in \left[ {0,1} \right] }$

ακολουθώντας τους συμβολισμούς του Νίκου.
Eίναι καλά ορισμένη, γιατί (1-t)x1+t ,(1-t)x2 ανήκουν στο [0,1], g(0)>0, g(1)<1 bolzano g(ξ)=0 κτλ..
Στο τέλος επιλέγει τα σημεία:
(1-ξ)χ1+ξ , (1-ξ)χ2.

Kαλημέρα!!

Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

Μέλη σε σύνδεση