Όριο

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το όριο (εφόσον υπάρχει)
$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 - x} \right) - \eta \mu x}}{{1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}x}}$

Ωmega Man · #2

Δεν ορίζεται το όριο καθώς $x\rightarrow 0^{-}$ είναι άπειρο και καθώς $x\rightarrow 0^{+}$ είναι $-\infty$ .

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Μία προσπάθεια.
Θέτουμε y = 1-x. To όριο γίνεται:
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{y \to {1^ + }} \frac{{\ln y - \eta \mu (1 - y)}}{{\eta {\mu ^2}(1 - y)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to {1^ + }} \frac{{ - \frac{{\ln y}}{{y - 1}} - \frac{{\eta \mu (1 - y)}}{{1 - y}}}}{{\frac{{\eta \mu (1 - y)}}{{1 - y}}}}\frac{1}{{\eta \mu (1 - y)}} = \frac{{ - 1 - 1}}{1}( + \infty ) = - \infty }$
Αντίστοιχα αν $\displaystyle{y \to {1^ - }}$ , το όριο ισούται με $\displaystyle{ + \infty }$
΄Αρα το όριο δεν υπάρχει.
Φιλικά Χρήστος

mathxl · #4

Σωστά! Να δώσω και ένα σχήμα

#5

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το όριο (εφόσον υπάρχει)
$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 - x} \right) - \eta \mu x}}{{1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}x}}$

Μετά τα παραπάνω, ας δούμε και την ερμηνεία γιατί δεν υπάρχει το όριο:
Το κάνω χωρίς αυστηρότητα και εκτός σχολικής ύλης, αλλά παρακάτω δείχνω πώς μετατρέπεται σε αυστηρό συλλογισμό και εντός σχολικής ύλης.

Ο αριθμητής είναι, από σειρές Taylor,

$\ln(1-x) - sinx = (-x - \frac{x^2}{2} - ... ) - ( x - \frac{x^3}{3!} + ... ) = -2x - \frac{x^2}{2} + ...$

και ο παρονομαστής

$1 - cos^2x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos(2x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1 - \frac{(2x)^2}{2!}+ ... ) = x^2 + ...$

Άρα το κλάσμα ισούται $\frac{-2x + ... }{x^2 + ... } = \frac{-2 + ... }{x + ... } \approx -\frac{2}{x}$

που δεν έχει όριο όταν το χ τείνει στο 0.

Ας σημειώσω ότι η απάντηση αυτή είναι απόλυτα συμβατή με το σχήμα που παρέθεσε ο Βασίλης. Θα δείτε εκεί ότι η συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο 0 είναι σαν της -2/χ.

Αυστηρά και εντός σχολικής ύλης, αντί σειρές Taylor χρησιμοποιούμε γνωστές ανισότητες όπως π.χ.

$x - \frac{x^3}{3!} \le sinx \le x$ και λοιπά. Λεπτομέρειες στον αναγνώστη.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση