Παράγωγος και αντίστροφη

[Χρήστος Λαζαρίδης]

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω η συνάρτηση .
Να αποδείξετε ότι:
α) Η συνάρτηση f αντιστρέφεται.
β) Η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο -1.

Φιλικά Χρήστος

Ας παίξω και εγώ λίγο με τα καινούγια εικονίδια.

[Φωτεινή]

θα απαντήσω μόνο στο β)



--->η f όχι παραγωγίσιμη στο -1

[mathxl]

Για το α)
f'(x)=2(lnx+1-x)=<0 με την ισότητα να ισχύει μόνο στο 1 από εφαρμογή, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα οπότε 1-1 άρα και αντιστρέψιμη
β) f(1)=-1 και f'(1)=0
Οπότε η εφαπτομένη στο 1 θα έχει εξίσωση y = -1
Από συμμετρία ως προς την διχοτόμο η αντίστροφη έχει κατακόρυφη εφαπτομένη την χ= -1 στο -1 που σημαίνει δεν είναι παραγωγίσιμη στο -1.

Αφού μας απασχολεί η βαθμολόγηση αυτές τις μέρες, θεωρείται σωστή η απάντηση στο β;

Συμπλρώνω ότι δεν θα ήταν αυτή η αντιμετώπιση μου στο β)

[konkyr]

Έχουμε :α)f΄(χ)=2lnx+2-2x=2(lnx+1-x)0(από εφαρμογή σχολικού) ,άρα f γνησίως φθίνουσα οπότε 1-1 άρα αντιστρέφεται.

β)Έστω ότι η είναι παραγωγίσιμη στο -1.
Ισχύει
.Για χ=1 η τελευταία δίνει
Άτοπο.
Το πρόβλημα είναι ότι δεν δίνει ότι η f είναι παραγωγίσιμη...άρα ή η λύση μου έιναι λάθος ή θέλει προσθήκη η εκφώνηση ή κάπωσ το αποδεικνύουμε...help

[konkyr]

Και συνεχίζω με την απορία μου...
Έχω συναντήσει το βοήθημα το εξής:"Έστω f: Α->R μία συνάρτηση 1-1 και παραγωγίσιμη.Τότε και η αντίστροφή της :f(A)->R είναι παραγωγίσιμη σε κάθε με την προυπόθεση "Είναι σωστό;Μπορούμε να το χρησιμοποιούμε;

[Χρήστος Λαζαρίδης]

Σας ευχαριστώ όλους.
Σκοπός μου ήταν η εφαρμογή των θεωρημάτων για παράγωγο σε σημείο, χωρίς τη χρήση παραγώγων συναρτήσεων.
Νομίζω ότι δεν είναι απαραίτητο να δίνεται ότι η είναι παραγωγίσιμη.
β) Έστω ότι η είναι παραγωγίσιμη στο -1 = f(1).
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 1, έχουμε:
,άτοπο.

Φιλικά Χρήστος

Υ.Γ 1) Κωνσταντίνα ασφαλώς και δεν μπορείς να το χρησιμοποιήσεις. Πρέπει να το αποδείξεις προηγουμένως.
2) Βασίλη ευρηματική η, μη σχολική, αντιμετώπιση σου.Φαντάζομαι ότι η σχολική σου λύση, θα είναι παρόμοια.
3) Φωτεινή. Γρήγορο, αλλά σωστό.Τι θα γίνει με το avatar σου;

[konkyr]

Διέγραψα το μηνυμα

[Φωτεινή]

3) Φωτεινή. Γρήγορο, αλλά σωστό.Τι θα γίνει με το avatar σου;

Χρήστο,θα αφήσω τελικά τα ανθρωπάκια που μιλάνε

ο λόγος

στο είμαστε μια μεγάλη παρέα που ... και ...

σε

[Βασίλης Καλαμάτας]

Καλημέρα...
Νομίζω ότι στην άσκηση πρέπει το (β) ερώτημα να διαμορφωθεί ως εξής:
Να αποδείξετε ότι η αντίστροφη συνάρτηση ορίζεται στο σημείο , αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό.
Θα επανέλθω αργότερα στο ερώτημα γιατί με ενδιαφέρει και παρακαλώ όποιον έχει το χρόνο να δώσει αναλυτικά μια σχολική λύση με χρήση θεωρημάτων.

Υ.Γ. Πολύ καλή η προσέγγιση του Βασίλη...

[mathxl]

Και συνεχίζω με την απορία μου...
Έχω συναντήσει το βοήθημα το εξής:"Έστω f: Α->R μία συνάρτηση 1-1 και παραγωγίσιμη.Τότε και η αντίστροφή της :f(A)->R είναι παραγωγίσιμη σε κάθε με την προυπόθεση "Είναι σωστό;Μπορούμε να το χρησιμοποιούμε;

Κωνσταντίνα η απορία σου αυτή είναι ίδιας ποιότητας με την λύση που έδωσα. Μαθηματικώς ορθή και ανύπαρκτη σχολικό.Αν θες συμπλήρωσε την ως πρόταση προς το ΠΙ, δεν είναι κακό. Στο τέλος θα φιλτράρουμε το σύνολο των προτάσεων που θα στείλουμε.

Χρήστο ναι, η απάντηση μου είναι άτοπο+θεώρημα παραγώγισης σύνθετης σε σημείο

[xr.tsif]

καλημέρα
Νομίζω ότι αν χρησιμοποιήσουμε παραγωγισιμότητα της αντίστροφης πρέπει να την αποδείξουμε.

Στο παλιό βιβλίο της Α΄Δέσμης (το πράσινο του 1998) έχει μία πρόταση αναπόδεικτη για την παραγωγισιμότητα της αντίστροφης συνάρτησης
" Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με f '(xo) διάφορο του 0 , xoΔ , τότε υπάρχει η ανίστροφη συνάρτηση της f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο f(xo) ''

Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε, με εις άτοπο απαγωγή, την πρόταση
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f(R) = R. Αν η f είναι αντιστρέψιμη και για κάποιο αR ισχύει ότι f ' (f^-1(α)) = 0 τότε να αποδείξετε ότι η f^-1 δεν είναι παραγωγίσιμη στο α.

Πιστεύω να βοήθησα
Χρήστος