Ζορικο όριο 2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

επειδή και το επόμενο όριο χρειαζεται (κατα τη γνωμη μου) το κανόνα του....Νοσοκομείου το τοποθετώ σ αυτη την κατηγορία.

Ασκηση
Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x - e^{\eta \mu x} }}{{x - \eta \mu x}} }$ .

#2

Για x κοντά στο 0, έχουμε ότι

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\eta \mu x}}{x - \eta \mu x}} =$

$\displaystyle{\mathop = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\eta \mu x} \sigma \upsilon \nu x}{1 - \sigma \upsilon \nu x}} =$

$\displaystyle{\mathop = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\eta \mu x} (\sigma \upsilon \nu x)^2+\eta \mu x e^{\eta \mu x} }{{\eta \mu x}} =$

$\displaystyle{\mathop = {\lim }\limits_{x \to 0} \left (\frac{e^x - e^{\eta \mu x} (\sigma \upsilon \nu x)^2}{\eta \mu x}+ e^{\eta \mu x}\right ) =$

$\displaystyle{\mathop = {\lim }\limits_{x \to 0} \left (\frac{e^x - e^{\eta \mu x} (\sigma \upsilon \nu x)^3+2\sigma \upsilon \nu x\eta \mu xe^{\eta \mu x} }{\sigma \upsilon \nu x}+ e^{\eta \mu x}\right ) = 1.$

#3

Αν θεωρήσουμε f(t) = e^t
Από Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ημx , x] προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλ ξ= ξ(x) $\in$ (ημx,x) τέτοιο ώστε f '(ξ) = $\frac{e^x-e^s^i^n^x}{x-sinx}$
και από μονοτονία της f ' έχουμε ότι e^ημx < e^ξ < e^x δηλαδή $e^s^i^n^x\prec \frac{e^x-e^s^i^n^x}{x-sinx}\prec e^x$
αφού $\lim_{x\rightarrow 0}e^s^i^n^x = 1$ και $\lim_{x\rightarrow 0}e^x = 1$ έχουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^s^i^n^x}{x-sinx}=1$ .

Διόρθωση μετά από το μήνυμα του Γιώργου
Αν x< 0 τότε έχουμε το διάστημα [x, ημx] και όμοια ΘΜΤ

#4

xr.tsif έγραψε:Αν θεωρήσουμε f(t) = e^t
Από Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ημx , x] προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλ ξ= ξ(x) $\in$ (ημx,x) τέτοιο ώστε f '(ξ) = $\frac{e^x-e^s^i^n^x}{x-sinx}$
και από μονοτονία της f ' έχουμε ότι e^ημx < ξ < e^x δηλαδή $e^s^i^n^x\prec \frac{e^x-e^s^i^n^x}{x-sinx}\prec e^x$
αφού $\lim_{x\rightarrow 0}e^s^i^n^x = 1$ και $\lim_{x\rightarrow 0}e^x = 1$ έχουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^s^i^n^x}{x-sinx}=1$ .

Ωραίος τρόπος!!!

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Χρήστο την λύση σου είχα κατά νου (αλλά θεώρησα ότι θέλει περιπτώσεις για το διάστημα)... ο ξενοδόχος δεν μου αρέσει, προσπαθώ να τον αποφύγω (Λευτέρη δεν πάει σε σένα αλλά στην τεμπελιά και στην ιδιοτροπία μου)

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:επειδή και το επόμενο όριο χρειαζεται (κατα τη γνωμη μου) το κανόνα του....Νοσοκομείου το τοποθετώ σ αυτη την κατηγορία.

Ασκηση
Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x - e^{\eta \mu x} }}{{x - \eta \mu x}} }$ .

Άλλη λύση, απλούστερη και χωρίς l' Hospital:

Για $y = x - \eta \mu x$ , οπότε $y \rightarrow 0$ καθώς $x \rightarrow 0$ , και τον ορισμό της παραγώγου, είναι

$\frac{e^x - e^{\eta \mu x} }{x - \eta \mu x} = \frac{e^{x - \eta \mu x} -1}{x - \eta \mu x}\cdot e^{\eta \mu x}= \frac{{e^y} - 1}{y-0} \cdot e^{\eta \mu x} \rightarrow e^0 \cdot e^0 = 1$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Προσθήκη αργότερα: Γενικότερα, με ίδια απόδειξη, αν $\mathop {\lim }\limits_{x \to a}f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a}g(x) = L$ τότε (*) $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{e^{f(x)} - e^{g(x)} }}{{f(x) - g(x)}} } = e^L$ .

(*) για τις περιπτώσεις που ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται σε κάποια περιοχή το α : Η προσθήκη αυτή είναι, βέβαια, απαραίτητη. Την είχα παραβλέψει στο αρχικό μου μήνυμα, αλλά μου το επισήμανε ο Δημήτρης (Demetres). Τον ευχαριστώ θερμα.

Ζορικο όριο 2

Ζορικο όριο 2

Re: Ζορικο όριο 2

Re: Ζορικο όριο 2

Re: Ζορικο όριο 2

Re: Ζορικο όριο 2

Re: Ζορικο όριο 2

Μέλη σε σύνδεση