Εύρεση f ...

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ f:(0, + \infty ) \to R }$ με f (1) = 1 και $\displaystyle{ f'(x) = x \cdot f\left( {\frac{1}{x}} \right) }$ για κάθε x > 0 . Να βρείτε τον τύπο της f .

#2

Αν θυμάμαι καλά είναι από Putnam πριν 2-3 χρόνια Λύση αυριο γιατί τωρα είναι αργά
Καληνύχτα!

mathxl · #3

$\begin{array}{l} f'\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x}f\left( x \right),x > 0 \\ x = 1:f'\left( 1 \right) = 1 \\ x = \frac{1}{x}:f'\left( x \right) = xf\left( {\frac{1}{x}} \right) \\ \end{array}$
Παραγωγίζουμε (μπορούμε με εύκολη δικαιολόγηση)
$\begin{array}{l} f''\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{x}} \right) + xf'\left( {\frac{1}{x}} \right)\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = f\left( {\frac{1}{x}} \right) - \frac{1}{x}f'\left( {\frac{1}{x}} \right) \Leftrightarrow \\ xf''\left( x \right) = xf\left( {\frac{1}{x}} \right) - f'\left( {\frac{1}{x}} \right) \Leftrightarrow xf''\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{1}{x}f\left( x \right) \Leftrightarrow \\ {\left( {f'\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x} + c \\ x = 1:1 = 1 + c \Leftrightarrow c = 0 \\ \end{array}$
Οπότε
$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = 0 \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{x} = k \\ x = 1:1 = k \\ \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = x \\ \end{array}$
Η οποία επαληθεύει την αρχική

#4

$\displaystyle f'(x) = x \cdot f\left( {\frac{1}{x}} \right)} (I)$

Αφού f(1)=1

από την (Ι) έχουμε f'(1)=1

Θέτουμε στην (Ι) όπου

το $\displaystyle \frac{1}{x}$ ,

οπότε $\displaystyle f'\left( {\frac{1}{x}} \right)} = \frac{1}{x} \cdot f(x) (II)$

Αφού οι συναρτήσεις $\displaystyle x, f\left( {\frac{1}{x}} \right)}$ είναι παραγωγίσιμες,

η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, οπότε παραγωγίζοντας την (Ι) και με χρήση της (ΙΙ) έχουμε

$\displaystyle f''(x) = \frac{f'(x)}{x}-\frac{f(x)}{x^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow f''(x) = \left(\frac{f(x)}{x} \right){'} \Rightarrow f'(x) = \left\frac{f(x)}{x}+c_1$

Για x=1

, έχουμε

, οπότε $\displaystyle f'(x) = \left\frac{f(x)}{x}\Leftrightarrow$

$\dispalystyle \left(\frac{f(x)}{x} \right){'}=0 \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=c_2$

και για x=1

βρίσκουμε

οπότε

,
η οποία επαληθεύει και την (Ι).

Εύρεση f ...

Εύρεση f ...

Re: Εύρεση f ...

Re: Εύρεση f ...

Re: Εύρεση f ...

Μέλη σε σύνδεση