Διαφορι - Κούλα 8

mathxl · #1

Να βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f , ώστε να ισχύει
$xf'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^3}{f^3}\left( x \right),x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)$
και $f\left( { - 1} \right) = 1$

ΥΓ: συμπληρώνω ότι η f είναι θετική

hsiodos · #2

Μια αντιμετώπιση
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{ g(x) = xf(x)\,\,\mu \varepsilon \,\,\,x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\,}$ . Από τα δεδομένα προκύπτουν ότι $\displaystyle{ g(x) < 0\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,g( - 1) = - 1 }$

Για κάθε $\displaystyle{ x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\,}$ έχουμε:

$\displaystyle{ xf{'} (x) + f(x) = x^3 f^3 (x) \Leftrightarrow xf{'} (x) + (x){'} f(x) = x^3 f^3 (x) \Leftrightarrow \left( {xf(x)} \right){'} = \left( {xf(x)} \right)^3 }$ \displaystyle{\displaystyle{
\Leftrightarrow g^' (x) = g^3 (x) \Leftrightarrow \frac{{g^' (x)}}{{g^3 (x)}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2g^' (x)}}{{g^3 (x)}} = - 2 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{g^2 (x)}}} \right)^' = ( - 2x)^' \Leftrightarrow \frac{1}{{g^2 (x)}} = - 2x + c
} Από το

\displaystyle{
g( - 1) = - 1} προκύπτει c = -1 και έτσι

\displaystyle{
\frac{1}{{g^2 (x)}} = - 2x - 1}

\displaystyle{
x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)} Για κάθε

\displaystyle{
x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\,} τώρα έχουμε:

\displaystyle{
\frac{1}{{g^2 (x)}} = - 2x - 1 \Leftrightarrow g^2 (x) = - \frac{1}{{2x + 1}} \Leftrightarrow g(x) = - \frac{1}{{\sqrt { - 2x - 1} }}
}} $\displaystyle{ \Leftrightarrow xf(x) = - \frac{1}{{\sqrt { - 2x - 1} }} \Leftrightarrow f(x) = - \frac{1}{{x\sqrt { - 2x - 1} }} }$

Γιώργος

mathxl · #3

yup yup

Jeronymo Simonstone · #4

Kαι η βρώμικη προσέγγιση της αριθμητικής ανάλυσης... Λύνοντας την διαφορική εξίσωση (Ε) ως προς f', παρατηρούμε πως η f' είναι επίσης παραγωγίσιμη. Με ένα θλιμμένο επαγωγικό επιχείρημα έχουμε πως η συνάρτηση θα έχει παραγώγους κάθε τάξης. Εκφράζουμε
κατά Taylor: $f(x)=1+f'(-1)(x+1)+\ldots$
και υπολογίζουμε από την διαφορική εξίσωση τους αριθμούς $f'(-1),f''(-1),\ldots$ . Πχ, για x=-1

στην (Ε) έχουμε την f'(-1)

. Ύστερα, παραγωγίζοντας την (Ε) και θέτοντας ξανά x=-1

υπολογίζουμε την f''(-1)

, κοκ...

Διαφορι - Κούλα 8

Διαφορι - Κούλα 8

Re: Διαφορι - Κούλα 8

Re: Διαφορι - Κούλα 8

Re: Διαφορι - Κούλα 8

Μέλη σε σύνδεση