Κοιλότητα συνάρτησης

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

ΑΣΚΗΣΗ

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ικανοποιεί την ισότητα: $\displaystyle{{e^{f(x)}} + f(x) = x + 1}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Η συνάρτηση είναι κοίλη.
β) $\displaystyle{2{e^{f(x)}} \ge x + 2}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .

Φιλικά Χρήστος

#2

στο πρώτο αν παραγωγίσουμε έχουμε

$\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1+e^{f(x)}}>0,f''(x)=\frac{-e^{f(x)}f'(x)}{(1+e^f(x)))^2}<0}$

και το για δεύτερο από το $e^{f(x)}\geq f(x)+1$ ,προκύπτει το ζητούμενο

mathxl · #3

Για το
ι)
$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \frac{1}{{{e^{f\left( x \right)}} + 1}} > 0,f \uparrow R \\ f''\left( x \right) = - \frac{{{e^{f\left( x \right)}}f'\left( x \right)}}{{{{\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 1} \right)}^2}}} < 0,f \cap R \\ \end{array}$
Για το
ιι)
Αποδεικνύεται από εφαρμογή
$\begin{array}{l} {e^{f\left( x \right)}} \ge f\left( x \right) + 1 \Leftrightarrow {e^{f\left( x \right)}} + {e^{f\left( x \right)}} \ge {e^{f\left( x \right)}} + f\left( x \right) + 1 \Leftrightarrow \\ 2{e^{f\left( x \right)}} \ge x + 1 + 1 \Leftrightarrow 2{e^{f\left( x \right)}} \ge x + 2 \\ \end{array}$
με την ισότητα να ισχύει όταν η f μηδενίζει. Ο μηδενισμός γίνετε σε μοναδικό σημείο αφού λόγω μονοτονίας το σημείο αυτό θα είναι το πολύ ένα και τα όρια στα άπειρα θα υπάρχουν. Αν υποθέσουμε ότι τα όρια αυτά είναι πραγματικοί αριθμοί τότε καταλήγουμε σε άτοπο. ΈΡτσι καταλήγουμε ότι όταν το χ τείνει στο -οο το όριο της f είναι -οο και στο +οο είναι +οο. Δηλαδή σύνολο τιμών το R περιέχει το 0

ΥΓ: Βλέπω με πρόλαβε η Φωτεινή

Edit: Διόρθωσα το σύνολο τιμών από +οο se R, λολ

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

Ακαριαία ταυτόχρονη αντίδραση, από Φωτεινή και Βασίλη.
Σας ευχαριστώ και χρόνια πολλά.
Τώρα θα σας πω τον δικό μου τρόπο, μέσω Λαμίας και έχουν κίνηση και οι δρόμοι.
Βρίσκω την εφαπτομένη στο 0, y = 1/2x και επειδή είναι κοίλη f(x)<=1/2x

Φιλικά Χρήστος

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #5

Στο α) όπως οι φίλοι μου παραπάνω .
Στο β) βρήκα την εφαπτομένη στο ( 0 , f(0) ) . Απέδειξα ότι f(0)= 0 άρα εφαπτομένη είναι η y = 1/2 x
Η f θα είναι κάτω από την εφαπτομένη της και μετά αντικατάσταση . Δεν μπορώ να το γράψω αναλυτικά γιατί είμαι φιλοξενούμενος σε ένα laptop αρκετά παλιό

Πρόλαβε ο Χρήστος αλλά το αφήνω για τον κόπο μου

Χρήστος Λαζαρίδης · #6

Χρήστο πιάσε κόκκινο
Χρήστος

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #7

Ναι Χρήστο μέχρι και ο τρόπος περιγραφής της λύσης είναι ίδιος ...

#8

Xρήστο Καρδάση , νομίζω πως ο Χρήστος Λαζαρίδης έχει δίκιο.
Ήρθε η ώρα να πιάσεις κόκκινο, για να δείς και κανένα πρωτάθλημα επιτέλους.
Μεγαλώνεις και πρέπει να προνοείς για το μέλλον.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #9

Φέτος προβλέπω μεγάλη

Κοιλότητα συνάρτησης

Κοιλότητα συνάρτησης

Re: Κοιλότητα συνάρτησης

Re: Κοιλότητα συνάρτησης

Re: Κοιλότητα συνάρτησης

Re: Κοιλότητα συνάρτησης

Re: Κοιλότητα συνάρτησης

Re: Κοιλότητα συνάρτησης

Re: Κοιλότητα συνάρτησης

Re: Κοιλότητα συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση