Μια άσκηση για mathxl

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα Βασίλη.

Για δες μια άσκηση για να ασχοληθείς τώρα που γύρισες επιτέλους σπίτι.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R* με f(0)=0 και $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)\eta \mu x}}{{{x^2}}} = + \infty }$ .
Αν για κάθε $\displaystyle{x \ne 0}$ ισχύει $\displaystyle{xf''(x) > 0}$ να δειχθεί ότι η αρχή των αξόνων είναι σημείο καμπής της $\displaystyle{{C_f}}$ .

Με αγάπη
Θωμάς

mathxl · #2

Φίλε Θωμά θα είχες τηλεφωνική συνδιάλεξη αλλά λόγω ηχορύπανσης αυτό δεν κατέστει δυνατόν. Για την άσκηση επιφυλάσσομαι για αύριο

. Δεν είμαι σε θέση να κάνω ούτε πρόσθεση

Καληνύχτα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

mathxl έγραψε:Φίλε Θωμά θα είχες τηλεφωνική συνδιάλεξη αλλά λόγω ηχορύπανσης αυτό δεν κατέστει δυνατόν. Για την άσκηση επιφυλάσσομαι για αύριο . Δεν είμαι σε θέση να κάνω ούτε πρόσθεση
Καληνύχτα

Καληνύχτα Βασίλη μου και ΟΝΕΙΡΑ ΓΛΥΚΑ.
Το μόνο που σου έμεινε (τουλάχιστον) για απόψε.
Κοιμήσου σαν πουλάκι.
Χαιρετίσματα στη πατρίδα.
Θωμάς

#4

Kαλημέρα.

Επειδή xf''(x)>0, για κάθε χ διαφορετικό του μηδενός, προκύπτει πως η f''(x)>0, όταν x>0 και f''(x)<0, όταν x<0.
Aρα η f αλλάζει τα κοίλα της εκατέρωθεν του μηδενός.
Μας αρκεί να δείξουμε πως η f δέχεται εφαπτομένη, έστω και κατακόρυφη (εκτός ύλης) στο 0, μιας κι εκεί είναι συνεχής.

Έχουμε:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)\sin x}}{{x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} \cdot \frac{{\sin x - \sin 0}}{{x - 0}}} \right] = + \infty }$

Για χάρη ευκολίας θα θέσω g(x) το λόγο:

$\displaystyle{ \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} }$
Αρα έχω:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) \cdot \frac{{\sin x - \sin 0}}{{x - 0}} = + \infty }$

Θέτοντας τώρα:

$\displaystyle{ h(x) = g(x) \cdot \frac{{\sin x - \sin 0}}{{x - 0}} }$

προκύπτει προφανώς πως :

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} h(x) = + \infty }$

αλλά και :

$\displaystyle{ g(x) = \frac{{h(x)}}{{\frac{{\sin x - \sin 0}}{{x - 0}}}} }$
(κοντά στο 0)

Λαμβάνοντας ορια όταν χ->0 έχουμε εύκολα πως:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = + \infty }$
μιας και : $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} h(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \sin 0}}{{x - 0}} = \cos 0 = 1 }$
Αφού η f είναι συνεχής στο x=0 συμπεραίνουμε πως η γραφική παράσταση της f δέχεται στο (0,0) (αφού και f(0)=0)
κατακόρυφη εφαπτομένη.
Αρα στο (0,0) παρουσιάζει σημείο καμπής.

Υ.Γ Συγχωρέστε μου την ...φιλολογία με τα sinx, sin0, ξέρω πως μου αρκούσε να αναφερθώ στο όριο της sinx/x στο 0, αλλά έτσι μου εκαρφώθη!
Καλημέρα, ξανά!

mathxl · #5

Καλημέρα, ο Χρήστος το κάλυψε το θέμα.

Σχόλιο: Τέτοιες ασκήσεις ας βλέπουν οι υποψήφιοι συνάδελφοι που ενδιαφέρονται για το δημόσιο. Στο ΑΣΕΠ κάνουν επιστήμη τα εκτός ύλης με σκοπό να πετάξουν έξω μεγάλο όγκο φροντιστών. Οπότε παράγραφο σχολικού εκτός ύλης και ιστορικά σημειώματα είναι ΣΟΣ.

Μια άσκηση για mathxl

Μια άσκηση για mathxl

Re: Μια άσκηση για mathxl

Re: Μια άσκηση για mathxl

Re: Μια άσκηση για mathxl

Re: Μια άσκηση για mathxl

Μέλη σε σύνδεση