Γραφημα Συναρτησης

papel · #1

Εστω f(x) παραγωγισιμη συναρτηση και G το γραφημα της συναρτησης.
Εστω $\displaystyle{q = \left( {\alpha ,f\left( a \right)} \right)}$ σημειο του γραφηματος της f που ειναι κοντυτερα στο Ο(0,0) . Να δειξετε οτι ισχυει :
$\displaystyle{a + f(a) \cdot f'(a) = 0}$ .

#2

Η συνάρτηση που δίνει την απόσταση του τυχαίου σημείου (x,f(x))

του γραφήματος της συνάρτησης

από την αρχή των αξόνων είναι η $g(x)=\sqrt{x^2+f^2(x)}$ . Επειδή στο σημείο (a,f(a))

η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο και ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat άρα πρέπει g'(a)=0

που δίνει

.

Αλέξανδρος

#3

Η συνάρτηση d(x)=(x-0)^2+(f(x)-0)^2=x^2+f(x)^2

είναι παραγωγίσιμη και έχει ελάχιστο στο

.

Συνεπώς

d'(a)=0

,

απ'όπου έπεται η ζητούμενη.

Τι γίνεται σήμερα

...Με πρόλαβε ο Αλέξανδρος...

Με μια διαφορά απ'οτι βλέπω...Πήρα το τετράγωνο της

...λόγω της μονοτονίας της $x\mapsto \sqrt{x}$ το πρόβλημα είναι ισοδύναμο για τη

. Συνήθως αυτό βολεύει περισσότερο όταν εχουμε να λύσουμε προβλήματα με Lagrange multiplies...εδώ οι υπολογισμοί είναι εύκολοι και για τη

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

papel έγραψε:Εστω f(x) παραγωγισιμη συναρτηση και G το γραφημα της συναρτησης.
Εστω $\displaystyle{q = \left( {\alpha ,f\left( a \right)} \right)}$ σημειο του γραφηματος της f που ειναι κοντυτερα στο Ο(0,0) . Να δειξετε οτι ισχυει :
$\displaystyle{a + f(a) \cdot f'(a) = 0}$ .

Και να συμπληρώσω: Το παραπάνω σημαίνει γεωμετρικά ότι η ΟΑ είναι τότε κάθετη στην εφαπτομένη στο γράφημα της f.

Συχνά το βάζω ως άσκηση στη μορφή: Το πλησιέστερο σημείο της Εθνικής Οδού από το χωριό μου είναι σε σημείο που αν κοιτάξεις κάθετα στην Εθνική, τότε θα το δεις.

Μ.

#5

Να συμπληρώσω και εγώ: Οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις ισοδυναμικές επιφάνειες

#6

R BORIS έγραψε:Να συμπληρώσω και εγώ: Οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις ισοδυναμικές επιφάνειες

Καταπληκτικό Ροδόλφε.
Ώστε ισχύει και το τρισδιάστατο αντίστοιχο της άσκησης.

Σπεύδω να συμπληρώσω στο ντοσιέ μου την εξής άσκηση που θα δίνω στο εξής στους φοιτητές όταν κάνουν "Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών".

Αν ένα σκουλήκι μέσα σε μία πατάτα πάρει τον συντομότερο δρόμο προς την έξοδο, τότε θα βγει κάθετα στην επιφάνεια.

Φιλικά,

Μιχάλης

Γραφημα Συναρτησης

Γραφημα Συναρτησης

Re: Γραφημα Συναρτησης

Re: Γραφημα Συναρτησης

Re: Γραφημα Συναρτησης

Re: Γραφημα Συναρτησης

Re: Γραφημα Συναρτησης

Μέλη σε σύνδεση