Παραμετρικά σημεία καμπής

#1

Για ποιά $\displaysyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=e^{x}+\lambda x^{3}}$ έχει σημεία καμπής;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

tolis riza · #2

Συνοπτική λύση:
Είναι: $\displaystyle{f''(x) = {e^x} + 6\lambda x,\mathop {}\limits_{} f'''(x) = {e^x} + 6\lambda {\text{ }}}$ , $\displaystyle{{f^{(4)}}(x) = {e^x} > 0}$
Άρα η $\displaystyle{f'''{\text{ }}}$ είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών $\displaystyle{f'''(\mathbb{R}) = (6\lambda , + \infty )}$ .
Επομένως:
Για $\displaystyle{\lambda > 0}$ η $\displaystyle{\mathop {}\limits^{} f''\mathop {}\limits_{}^{} }$
είναι γνησίως αύξουσα , με $\displaystyle{\mathop {}\limits^{} f''(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\mathop {}\limits_{}^{} }$ και άρα η $\displaystyle{{\text{ f}}}$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.
Για $\displaystyle{\lambda < 0{\text{ }}}$ η $\displaystyle{{f'''}}$ έχει ακριβώς μια ρίζα $\displaystyle{\rho }$ και επομένως η $\displaystyle{f''{\text{ }}}$
παρουσιάζει ελάχιστο $\displaystyle{f''(\rho ) = {e^\rho } + 6\lambda \rho }$ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle{g(\rho ) = {e^\rho } + 6\lambda \rho }$ , $\displaystyle{\lambda < 0}$ , η οποία
έχει ελάχιστη τιμή $\displaystyle{g\left( {\ln ( - 6\lambda )} \right) = - 6\lambda (1 - ln( - 6\lambda )}$
Επειδή για $\displaystyle{\lambda < - \frac{e}{6}}$ είναι $\displaystyle{g\left( {\ln ( - 6\lambda )} \right) < 0}$
συνεπάγεται ότι για $\displaystyle{\lambda < - \frac{e}{6}}$ , η $\displaystyle{{\text{f }}}$ έχει δύο σημεία καμπής.
(δεδομένου ότι: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f''(x) = + \infty {\text{ }}}$ )

Παραμετρικά σημεία καμπής

Παραμετρικά σημεία καμπής

Re: Παραμετρικά σημεία καμπής

Μέλη σε σύνδεση