Κάτι σαν μερικό αντίστροφο του θεωρήματος του Bolzano

#1

'Εστω $f:\left[ \alpha ,\beta \right] \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη της οποίας η παράγωγος δεν μηδενίζεται στο $\left( \alpha ,\beta \right)$ . Να αποδειχθεί ότι αν η

έχει ρίζα στο $\left( \alpha ,\beta \right)$ τότε $f\left( \alpha \right) f\left( \beta \right) <0$ .
Μαυρογιάννης

Dimitris X · #2

Aφού η f συνεχής στο [α,β] από θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής ξέρουμε ότι υπαρχουν x_1,x_2

τέτοια ώστε f(x_1)

και

μέγιστη και ελάχιστη τιμή αντίστοιχα.
Αν τα x_1

ή

ήταν στο (α,β) τότε από θεώρημα fermat θα είχα με $f{'}(x_1)=0$ ή $f{'}(x_2)=0$ αντίστοιχα.-ΑΤΟΠΟ....
Άρα η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή είναι τα f(a) και f(b) (δεν μας νοιάζει ποια μέγιστη και ποια ελάχιστη),και επειδή υπάρχει ρίζα της f στο (α,β) τα f(a) και f(b) ετερόσημα...

Ελπίζω να μην έχω υποπέσει σε κάποιο λάθος....

Δημήτρης

#3

Καλημέρα
άλλοι τρόποι
Από Darboux η f βγαίνει μονότονη...
Αν η f' ήταν συνεχής παρακάμπτουμε τον εκτός ύλης Darboux,
αλλιώς δείχνουμε ότι η f είναι 1-1(με Rolle και άτοπο) και σαν συνεχής είναι και γνήσια μονότονη...

hsiodos · #4

Καλημέρα
Από τα δεδομένα προκύπτει ότι η f είναι συνεχής και 1-1 στο [α,β] .
Άρα το συμπέρασμα προκύπτει αν γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής και 1-1 στο [α,β] και μηδενίζεται σε κάποιο $\displaystyle{x_o \in (\alpha ,\beta )}$ (χωρίς δηλαδή να υπεισέρχεται η παράγωγος της f) .

Επειδή η f είναι 1-1 θα ισχύει $\displaystyle{ f(\alpha ) \ne 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f(\beta ) \ne 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f(\alpha ) \ne f(\beta )}$ .

Έστω $\displaystyle{f(\alpha ) < f(\beta )}$ (Ομοίως αν $\displaystyle{f(\alpha ) > f(\beta )}$ ) και ότι $\displaystyle{f(\alpha )f(\beta ) > 0}$ .

Τότε είτε $\displaystyle{\,0 < f(\alpha ) < f(\beta )}$ (1) είτε $\displaystyle{f(\alpha ) < f(\beta ) < 0}$ (2)

Αν ισχύει η (1) έχουμε: $\displaystyle{0 < f(\alpha ) < f(\beta )}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \,f(x_o ) < f(\alpha ) < f(\beta )}$ και σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in (x_o ,\beta ) \subset (\alpha ,\beta )\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,f(\xi ) = f(\alpha )}$ , άτοπο αφού η f είναι 1-1 στο [α,β].Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν ισχύει η (2) . Συνεπώς $\displaystyle{f(\alpha )f(\beta ) < 0}$ .

Γιώργος

#5

Δημήτρη εύστοχη πραγματευση. Η λύση που δίνω στην τάξη χρησιμοποιεί την ίδαι βασική ιδέα με την δική σου αλλά, φυσικό είναι, πιο πολλά λόγια.
Γιώργο μου άρεσε η αναγωγή στη συνέχεια που μας ξαλαφρώνει από υποθέσεις. Δεν το είχα προσέξει ότι γίνεται. Καλό!
Σας ευχαριστώ και τους δύο.
Μαυρογιάννης

Κάτι σαν μερικό αντίστροφο του θεωρήματος του Bolzano

Κάτι σαν μερικό αντίστροφο του θεωρήματος του Bolzano

Re: Κάτι σαν μερικό αντίστροφο του θεωρήματος του Bolzano

Re: Κάτι σαν μερικό αντίστροφο του θεωρήματος του Bolzano

Re: Κάτι σαν μερικό αντίστροφο του θεωρήματος του Bolzano

Re: Κάτι σαν μερικό αντίστροφο του θεωρήματος του Bolzano

Μέλη σε σύνδεση