εξίσωση1

sorfan · #1

Να λυθεί η εξίσωση $1-2^x+3^{x-1}=0$
Έχω μία λύση αλλά θα ήθελα και τις δικές σας προσεγγίσεις.

Σπύρος Ορφανάκης

margavare · #2

x=1 και x=2

christodoulou · #3

sorfan έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση $1-2^x+3^{x-1}=0$
Έχω μία λύση αλλά θα ήθελα και τις δικές σας προσεγγίσεις.

Σπύρος Ορφανάκης

Δίνω μία υπόδειξη για μία διαφορετική προσέγγιση :
$1-2^x+3^{x-1}=0\Leftrightarrow \frac{3^x-0}{3-0}=\frac{2^x-1}{2-1}$

Ιστοσελίδα · #4

christodoulou έγραψε:
sorfan έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση $1-2^x+3^{x-1}=0$
Έχω μία λύση αλλά θα ήθελα και τις δικές σας προσεγγίσεις.

Σπύρος Ορφανάκης
Δίνω μία υπόδειξη για μία διαφορετική προσέγγιση :
$1-2^x+3^{x-1}=0\Leftrightarrow \frac{3^x-0}{3-0}=\frac{2^x-1}{2-1}$

Πώς ακριβώς έχεις στο μυαλό σου τη συνέχεια αυτής της σκέψης;

christodoulou · #5

polysot έγραψε:
christodoulou έγραψε:
sorfan έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση $1-2^x+3^{x-1}=0$
Έχω μία λύση αλλά θα ήθελα και τις δικές σας προσεγγίσεις.

Σπύρος Ορφανάκης
Δίνω μία υπόδειξη για μία διαφορετική προσέγγιση :
$1-2^x+3^{x-1}=0\Leftrightarrow \frac{3^x-0}{3-0}=\frac{2^x-1}{2-1}$

Πώς ακριβώς έχεις στο μυαλό σου τη συνέχεια αυτής της σκέψης;

΄
Είχα στο μυαλό μου την ιδέα του Θ.Μ.Τ. που εφαρμόζεται σε τετοιου είδους εξισώσεις (αλλά μάλλον όχι σ΄αυτήν) Για παράδειγμα , κοίτα εδω viewtopic.php?f=53&t=5637

Broly · #6

Μία λύση με μεγάλη επιφύλαξη:

Καταρχάς παρατηρούμε ότι το x=1

αποτελεί ρίζα της εξίσωσης.

Έστω λοιπόν ότι x>1

Η εξίσωση τώρα μπορεί να γραφεί ως εξής:

$3^{x-1}=2^x-1=2^{x-1}+2^{x-2}+...+2+1$ ή

$3^{x-1}-1=2^{x-1}+2^{x-2}+...+2$ ή

$2(3^{x-2}+3^{x-3}+...+3+1)=2^{x-1}+2^{x-2}+...+2$ ή

$3^{x-2}+3^{x-3}+...+3+1=2^{x-2}+2^{x-3}+...+2+1$

Το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του

,ενώ το δεξί είναι πολλαπλάσιο του

άρα
δεν γίνεται να συμβαίνει η ισότητα,εκτός και αν είναι και τα δυο μέλη μηδέν.

$2^{x-2}+2^{x-3}+...+2=0$ ή $\frac{2^{x-1}-1}{2-1}-1=0$ ή x=2

manos1992 · #7

broly έγραψε:Το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του 3,ενώ το δεξί είναι πολλαπλάσιο του 2 άρα
δεν γίνεται να συμβαίνει η ισότητα,εκτός και αν είναι και τα δυο μέλη μηδέν.

αυτό δεν είναι σωστό..μπορεί να είναι και τα δυο μέλη πολλαπλάσια του 6..

#8

manos1992 · #9

σωστό κι αυτό, παρασύρθηκα κι εγώ...

Broly · #10

Oops

την έκανα την κοτσάνα...τέσπα,ίσως όμως να μπορούσαμε να γιατρέψουμε
λίγο την κατάσταση κάνοντας μερικά βήματα ακόμα:

$(3^{x-2}-2^{x-2})+(3^{x-1}-2^{x-1})+...+(3-2)=0$ ή

Για x>1

ισχύει

για κάθε x,άρα θα πρέπει να έχουμε αναγκαστικά x-2=0

.

Πάλι όμως δεν είναι ολοκληρωμένη η λύση γιατί πρέπει να εξετασθεί και τι γίνεται
στην περίπτωση x<1

εξίσωση1

εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Re: εξίσωση1

Μέλη σε σύνδεση