Μονοτονία με καλό τέχνασμα ...

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Δίνεται η συνάρτηση f με $\displaystyle{ f(x) = (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^{16} ) }$ , $\displaystyle{ x \le 1 }$
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{ 31x^{32} + 1 > 32x^{31} }$ για κάθε x < 1 .
β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την f

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

$\displaystyle{f(x)=x^{32}-1/x-1,x\ne 1, f(1)=32}$ παραγωγίζοντας αρκεί να μελετήσουμε το πρόσημο της $\displaystyle{g(x)=1+(-32+31x)x^{32}}$ και ξαναπαραγωγίζοντας αρκεί να μελετήσουμε το πρόσημο της $\displaystyle{992x^{30}(x-1)}$ που είναι εύκολο αφού $\displaystyle{g(1)=0}$

#3

a) Για χ αρνητικό είναι προφανής.
$31x^{32}+1=x^{32}+x^{32}+...+x^{32}+1\geq 32\sqrt[32]{x^{31\cdot 32}}=32x^{31}$ και η ισότητα ισχύει μόνο για χ=1 κλπ
β) $f(x)=\frac{x^{32}-1}{x-1}$ με $f'(x)=\frac{31x^{32}-32x^{31}+1}{(x-1)^{2}}$ κλπ
Προφανώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα $[1, +\propto )$

Μονοτονία με καλό τέχνασμα ...

Μονοτονία με καλό τέχνασμα ...

Re: Μονοτονία με καλό τέχνασμα ...

Re: Μονοτονία με καλό τέχνασμα ...

Μέλη σε σύνδεση