Γνησίως φθίνουσα

#1

Έστω $f\left( a,+\infty \right)\to R$ μια κυρτή συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής με οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ . Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω $f\left( a,+\infty \right)\to R$ μια κυρτή συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής με οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ . Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα

Στάθης

...συνεχίζοντας με όνειρα γεωμετρικά.....

Έστω ότι υπάρχουν ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a,+\infty \right)$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ώστε να ισχύει ότι $f({{x}_{1}})\le f({{x}_{2}})$

Αν είναι $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ σύμφωνα με το Rolle στο $[{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}]$ υπάρχει ${{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,{{x}_{2}})$ που

${f}'({{x}_{0}})=0$ και επειδή η

κυρτή θα είναι {f}'

γνήσια αύξουσα άρα για $x>{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)>{f}'({{x}_{0}})=0$ οπότε αν η

$y={f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}})$ είναι η εφαπτομένη στο $\Beta ({{x}_{2}},\,\,f({{x}_{2}}))$ λόγω κυρτότητας θα ισχύει ότι

$f(x)>{f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}})$ και αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'({{x}_{2}})(x-{{x}_{2}})+f({{x}_{2}}))=+\infty$

(λόγω ${f}'({{x}_{2}})>0$ ) λόγω της ανισότητας θα είναι και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

που είναι άτοπο, αφού η

έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ .

Αν τώρα $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει ${{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,{{x}_{2}})$ ώστε

${f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0$ τότε για την εφαπτομένη στο $M({{x}_{0}},\,\,f({{x}_{0}}))$

θα ισχύει πάλι λόγω κυρτότητας $f(x)\ge {f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}})$ και τότε θα είναι και

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ που είναι άτοπο.

Άρα για κάθε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a,+\infty \right)$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ώστε να ισχύει ότι

$f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$ που σημαίνει ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λίγο διαφορετικά από τον Βασίλη.
Αν υπάρχει

με

ο Βασίλης έδειξε ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$
και έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αρα $f'(x)\leq 0$ για $x\in (a,\infty )$ .
Αν f'(c)=0

τότε επειδή η

γνησίως αύξουσα θα είχαμε
$x> c\Rightarrow f'(x)>f'(c)=0$ πάλι ΑΤΟΠΟ.
Αρα $x> a\Rightarrow f'(x)< 0$
που δείχνει ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Με την ευκαιρία να σημειώσω ότι η κυρτότητα είναι γεωμετρική έννοια.
Συγκεκριμένα μπορεί να δοθεί ο εξής ορισμός.
Η $f:(a,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ είναι κυρτή αν και μόνο αν
το σύνολο $\left \{ (x,y):x\in (a,\infty ),y\geq f(x) \right \}$ είναι κυρτό στο επίπεδο.
(δεν έχει σχέση με τον σχολικό ορισμό γιατί εκεί ορίζετε γνήσια κυρτή που επιπλέον είναι και παραγωγίσιμη)
Με αυτό τον ορισμό μπορεί να αποδειχθεί η άσκηση που έβαλε ο άριστος γεωμέτρης Στάθης με καθαρά γεωμετρικά
επιχειρήματα.Απλά θα πρέπει να αντικατασταθεί το γνησίως φθίνουσα με το φθίνουσα.
Συμπλήρωμα.
Εβαλα την τελευταία πρόταση γιατί από αβλεψία μου είχα λάθος.

Γνησίως φθίνουσα

Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Re: Γνησίως φθίνουσα

Μέλη σε σύνδεση