ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

#1

...Καλησπέρα στην παρέα...ένα αυτονόητο που ίσως έχει συζητηθεί πάλι εδώ...και μπορεί να είναι και εκτός φακέλλου....

1) Αν

ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα $(\alpha ,\,+\infty )$ ώστε $\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ τότε υπάρχει $\beta >\alpha$ ώστε

κυρτή στο $(\alpha ,\,\beta ]$ .

...και ενισχύοντας τα δεδομένα....

2) Αν

ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα $(\alpha ,\,+\infty )$ ώστε $\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ και γνήσια φθίνουσα στο $(\alpha ,\,+\infty )$ τότε υπάρχει $\beta >\alpha$ ώστε

κυρτή στο $(\alpha ,\,\beta ]$ .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην παρέα...ένα αυτονόητο που ίσως έχει συζητηθεί πάλι εδώ...και μπορεί να είναι και εκτός φακέλλου....

1) Αν ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα $(\alpha ,\,+\infty )$ ώστε $\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ τότε υπάρχει $\beta >\alpha$ ώστε κυρτή στο $(\alpha ,\,\beta ]$ .

...και ενισχύοντας τα δεδομένα....

2) Αν ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα $(\alpha ,\,+\infty )$ ώστε $\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ και γνήσια φθίνουσα στο $(\alpha ,\,+\infty )$ τότε υπάρχει $\beta >\alpha$ ώστε κυρτή στο $(\alpha ,\,\beta ]$ .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Βασίλη μ' αρέσεις ΣΦΟΔΡΑ!!!!

Αλλά τώρα είμαστε για ύπνο. Θα το δώ αύριο.

Στάθης

Al.Koutsouridis · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην παρέα...ένα αυτονόητο που ίσως έχει συζητηθεί πάλι εδώ...και μπορεί να είναι και εκτός φακέλλου....

1) Αν ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα $(\alpha ,\,+\infty )$ ώστε $\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ τότε υπάρχει $\beta >\alpha$ ώστε κυρτή στο $(\alpha ,\,\beta ]$ .

Καλημέρα,

Όχι απαραίτητα. Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε ως "φέρουσα" την συνάρτηση $g(x) = \dfrac{1}{x}$ και ως "διαμόρφωσή" της την συνάρτηση $h(x) = \sin (\dfrac{1}{x^2})$ . Τότε η συνάρτηση $f(x) = g(x)+h(x) = \dfrac{1}{x}+\sin (\dfrac{1}{x^2})$ είναι ένα αντιπαράδειγμα (κατάλληλη μετατόπισή της κατά

).

Πράγματι παρατηρούμε ότι το όριο στο μηδέν της f(x)

είναι συν άπειρο.

Επίσης είναι $f΄ (x) =- \dfrac{2\cos (\dfrac{1}{x^2})+x}{x^3}$

Όσο κοντά και να διαλέξουμε το

στο

η συνάρτηση $\cos (\dfrac{1}{x^2})$ θα αλλάζει πρόσημο στο διάστημα (a,b)

αφού η περίοδός της τείνει στο μηδέν καθώς το

τείνει στο μηδέν. Μάλιστα θα παίρνει τιμές από -2 μεχρι 2 . Παρατηρώντας τον αριθμητή της παραγώγου της f(x)

βλέπουμε ότι για μικρά

το

μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο σε σχέση με το με τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές που θα παίρνει το $\cos (\dfrac{1}{x^2} )$ .

Επομένως η f΄ (x)

θα αλλάζει πρόσημο κάμποσες φορές στο διάστημα (a,b)

όποιο

και να διαλέξουμε. Άρα δεν μπορεί να είναι κυρτή.

dement · #4

Επίσης, αν πάρουμε την $\displaystyle F(x) \equiv \int_x^1 f(t) \mathrm{d}t$ , όπου

η προαναφερθείσα, διαπιστώνουμε πως ούτε η επιπλέον υπόθεση της μονοτονίας αρκεί.

Τώρα η συνάρτηση τείνει πάλι στο άπειρο, με αρνητική παράγωγο (για αρκετά μικρό

) και με δεύτερη παράγωγο εναλλασσόμενου προσήμου.

#5

...Ευχαριστώ πολυ τον Αλέξανδρο και το Δημήτρη που ασχολήθηκαν με το θέμα

και ανέδειξαν την οφθαλμαπάτη της περίπτωσης αυτής με αντιπαραδείγματα...

της γνώσης η διαδρομή δεν έχει τέλος....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Al.Koutsouridis · #6

Καλημέρα,

Η γεωμετρική ιδέα για το ερώτημα (1) ήταν να επινοήσουμε μια συνάρτηση που ναι μεν να τείνει στο άπειρο στο ένα άκρο του διαστήματος αλλά αυτή η αύξηση να είναι όχι με "ομοιόμορφο" τρόπο αλλά με κάποιου είδους ταλάντωση. Και μάλιστα ο "ρυθμός μεταβολής" της περιόδου αυτής της ταλάντωσης καθώς θα τείνουμε στο άκρο που απειρίζεται, να είναι μεγαλύτερος από το "ρυθμό" με τον οποίο αυξάνεται η συνάρτηση.

Παρόμοια ιδέα μπορεί να εφαρμοστεί και για το ερώτημα (2) .Υυποψιάζομαι οτι αυτό κάνει η ολοκλήρωση που ανέφερε ο κ.Δημήτρης παραπάνω.

Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την συνάρτηση $\cos (\pi x)$ στο διάστημα [[0,1]

(την γνησίως φθίνουσα ημιπερίοδο της). Η συνάρτηση σε αυτό το διάστημα είναι γνησίως φθίνουσα αλλά δεν είναι κυρτή.

Θα προσπαθήσουμε τώρα να συγκολλήσουμε τέτοια κομμάτια συναρτήσεων το ένα δίπλα στο άλλο για να δημιουργήσουμε την συνάτηση ανιπαράδειγμα που επιδιώκουμε. Ξεκινώντας από ένα σημείο έστω το $c = \dfrac{\pi^2}{6}$ διαμερίζουμε το διάστημα [0,c]

σε διαστήματα $d_{1}, d_{2}, ...,d_{n},...$ μήκους $\dfrac{1}{n^2}$ . Δηλαδή το πρώτο διάστημα θα είναι $d_{1}=[c-1,c]$ μήκους 1, το δέυτερο $d_{2}= [c -1 -\dfrac{1}{2^2},c-1]$ μήκους $\dfrac{1}{4}$ κτλ.

Σε καθένα από αυτά τα διαστήματα θεωρούμε τις συναρτήσεις

$\Displaystyle { f_{n}(x)=\dfrac{1}{n}\cos(n^2 \pi x) + (-1+\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k})$

και κρατάμε μόνο το γνησίως φθίνουσο κομμάτι μιας ημιπεριόδου τους. Η συνάρτηση που σχηματίζεται από τις συγκολλήσεις συναρτήσεων της παραπάνω μορφής είναι γνησίως φθίνουσα.

Εφόσον η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$ συγκλίνει τα διαστήματα θα τείνουν όλο και πιο κοντά στο μηδέν. Από την άλλη επειδή η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ αποκλείνει η συνάρτηση καθώς θα τείνουμε στο μηδέν θα απειρίζεται.

Τώρα οποιοδήποτε

και να διαλέξουμε θα βρεθεί ένα αρκόυντως μεγάλο

για το οποίο το διάστημα $d_{n}$ θα βρίσκεται στο (0,b)

, στο οποίο η συνάρτηση δεν είναι κυρτή.

Μένει βέβαια να δείξουμε ότι οι συγκολλήσεις είναι "λείες" δηλαδή ότι υπάρχει η παράγωγος στα σημεία αυτά και είναι ίση με μηδέν

.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Μέλη σε σύνδεση