Εύρεση τύπου

skywalker13 · #1

Δίνεται f:(0,+oo)->R για την οποία ισχύει $\displaystyle{ f\left(x \right)\cdot f'\left(\frac{1}{x} \right)=x }$ με x>0. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.
Έθεσα όπου x το 1/x αλλά δεν έβγαλα κάτι.

mathxl · #2

Σωστά ξεκίνησες. Ας ονομάσουμε την σχέση που έφτιαξες (2)
Παρατήρησε ότι στην δοσμένη έχεις μέρος παραγώγου σύνθετης. Για να δημιουργήσεις την παράγωγο της f(1/x) χρειάζεται να πολλαπλασιάσεις τα μέλη με -1/χ^2. Ονομάζουμε την σχέση αυτή (1)
Πρόσθεσε κατά μέλη τις (1) και (2)

skywalker13 · #3

Έφτασα ότι $\displaystyle{ f\left(x \right)\cdot f\left(\frac{1}{x} \right)=c }$
Σωστά? Μετά δεν ξέρω καποια τιμή για να βρω το c..

mathxl · #4

Σε αυτήν που έφτασες μπορείς να λύσεις ως προς f(1/x) και να αντικαταστήσεις στην (2). Πρέπει να δικαιολογήσεις πρώτα κάτι για την f

skywalker13 · #5

Ναι, ότι η f είναι διάφορη του μηδενός.
Αλλα το c εξακολουθεί να υπάρχει στη σχέση.

mathxl · #6

Ωραία. Για την τιμή, μοιάζει να έχεις δίκιο. Συνήθως δίνεται ότι f(1)=1

skywalker13 · #7

Εντάξει, σας ευχαριστώ πολύ

mathxl · #8

Δες μία παρόμοια. Αν και λείπει η εκφώνηση, είναι F(1)=1
ΥΓ: Την λύση που θα βρεις στο τέλος να την κάνεις επαλήθευση. Όχι στην διαφορική (την ικανοποιεί σίγουρα, ισχύουν οι ισοδυναμίες) αλλά στην αρχική σχέση της άσκησης. Αυτό πρέπει να γίνει γιατί η διαφορική έχει προκύψει από μια διαδικασία που χρειάστηκε να προσθέσουμε κατά μέλη

coheNakatos · #9

Delete this

Στέλιος Μαρίνης · #10

mathxl έγραψε:Δες μία παρόμοια. Αν και λείπει η εκφώνηση, είναι F(1)=1
ΥΓ: Την λύση που θα βρεις στο τέλος να την κάνεις επαλήθευση. Όχι στην διαφορική (την ικανοποιεί σίγουρα, ισχύουν οι ισοδυναμίες) αλλά στην αρχική σχέση της άσκησης. Αυτό πρέπει να γίνει γιατί η διαφορική έχει προκύψει από μια διαδικασία που χρειάστηκε να προσθέσουμε κατά μέλη

$f(x)f\left(\frac{1}{x} \right)=c\Rightarrow f\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{c}{f(x)}\Rightarrow -\frac{1}{x^{2}}f'\left(\frac{1}{x} \right)=-\frac{cf'(x)}{f^{2}(x)}$ $\Rightarrow\frac{1}{x^{2}}f(x)f'\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{cf'(x)}{f(x)}\Rightarrow 1=\left(clnf(x) \right)'$ , άρα η συνάρτηση είναι εκθετική που δεν επαληθεύει τον τύπο που βγάλαμε. Μήπως κάνω κάπου λάθος;
Μεταγενέστερη προσθήκη: "Ου γαρ έρχεται μόνον!"

mathxl · #11

Επειδή δεν ξέρουμε για το πρόσημο της f (θα είναι παντού θετική ή παντού αρνητική), καλό είναι να αποφύγουμε την Ελένη

Αν υποθέσουμε ότι c δεν είναι 1 τότε βγάζω
$\displaystyle{{x^{\frac{1}{c}}}f'\left( x \right) - \frac{{{x^{\frac{1}{c}}} - 1}}{c}f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^{\frac{1}{c}}}}} = k \Leftrightarrow f\left( x \right) = k{x^{\frac{1}{c}}}}$
Αυτή πρέπει να επαληθεύει την σχέση
$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right)f'\left( {\frac{1}{x}} \right) = x \Leftrightarrow k{x^{\frac{1}{c}}} \cdot \left( {\frac{k}{c}} \right){x^{ - \frac{1}{c} + 1}} = x \Leftrightarrow \\ \frac{{{k^2}}}{c}x = x \Leftrightarrow \frac{{{k^2}}}{c} = 1 \\ \end{array}}$
Κάποιες λύσεις είναι οι χ και -χ

skywalker13 · #12

Η απάντηση ειναι f(x)=x οπότε σίγουρα λείπει καποια τιμή της f απο την ασκηση

mathxl · #13

Τότε σίγουρα f(1)=1

Στέλιος Μαρίνης · #14

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:
mathxl έγραψε:Δες μία παρόμοια. Αν και λείπει η εκφώνηση, είναι F(1)=1
ΥΓ: Την λύση που θα βρεις στο τέλος να την κάνεις επαλήθευση. Όχι στην διαφορική (την ικανοποιεί σίγουρα, ισχύουν οι ισοδυναμίες) αλλά στην αρχική σχέση της άσκησης. Αυτό πρέπει να γίνει γιατί η διαφορική έχει προκύψει από μια διαδικασία που χρειάστηκε να προσθέσουμε κατά μέλη
$f(x)f\left(\frac{1}{x} \right)=c\Rightarrow f\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{c}{f(x)}\Rightarrow -\frac{1}{x^{2}}f'\left(\frac{1}{x} \right)=-\frac{cf'(x)}{f^{2}(x)}$ $\Rightarrow\frac{1}{x^{2}}f(x)f'\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{cf'(x)}{f(x)}\Rightarrow 1=\left(clnf(x) \right)'$ , άρα η συνάρτηση είναι εκθετική που δεν επαληθεύει τον τύπο που βγάλαμε. Μήπως κάνω κάπου λάθος;

Αντικαθιστούσα το f(x)f'(1/x) με x^2. Έκανα πολλές επαληθεύσεις να δω πόύ έχω λάθος, και μόνο εκεί δεν κοιτούσα.

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Το ίδιο πρόβλημα με τη δικιά μου έχει μου φαίνεται

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Κοίτα πόσο μπορεί να κοστίσει μια αβλεψία!

Μέλη σε σύνδεση