Εύρεση τύπου συνάρτησης

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \left ( 0,+\infty \right )$ . Αν:

$\displaystyle{\displaystyle \bullet \hspace{3mm} f'(x)\left ( e^{f(x)}+\frac{1}{f(x)} \right )=e^{ex+1}+\frac{1}{x}}$ , για κάθε x>0

και

$\displaystyle{\displaystyle \bullet }$ Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο $M\left ( 1,f(1) \right )$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης

.

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μία βραδινή κατασκευή.
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \left ( 0,+\infty \right )$ . Αν:

$\displaystyle{\displaystyle \bullet \hspace{3mm} f'(x)\left ( e^{f(x)}+\frac{1}{f(x)} \right )=e^{ex+1}+\frac{1}{x}}$ , για κάθε και

$\displaystyle{\displaystyle \bullet }$ Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο $M\left ( 1,f(1) \right )$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης .

Φιλικά,
Μάριος

ΛΥΣΗ

Είναι ${f}'(x){{e}^{f(x)}}+\frac{{f}'(x)}{f(x)}=e{{e}^{ex}}+\frac{1}{x}\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{f(x)}}+\ln (f(x) \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{ex}}+\ln (ex) \right)}^{\prime }},\,\,\,\,x>0$

και ισοδύναμα έχουμε ${{e}^{f(x)}}+\ln (f(x)={{e}^{ex}}+\ln (ex)+c$ (1)

Επειδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο $M\left ( 1,f(1) \right )$ που είναι η y-f(1)={f}'(1)(x-1)

διέρχεται από την αρχή των αξόνων ισχύει ότι $0-f(1)={f}'(1)(0-1)\Leftrightarrow f(1)=-{f}'(1)$ και από την αρχική ισότητα έχουμε

${f}'(1)\left( {{e}^{f(1)}}+\frac{1}{f(1)} \right)={{e}^{e+1}}+1\Leftrightarrow f(1){{e}^{f(1)}}+1=e{{e}^{e}}+1\Leftrightarrow f(1){{e}^{f(1)}}=e{{e}^{e}}$ (2)

Η συνάρτηση $g(x)=x{{e}^{x}},\,\,\,x>0$ είναι παραγωγίσιμη με ${g}'(x)={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}>0,\,\,\,x>0$ άρα είναι γνήσια αύξουσα στο

$(0,\,\,+\infty )$ άρα και '1-1'

και από $f(1){{e}^{f(1)}}=e{{e}^{e}}\Leftrightarrow g(f(1))=g(e)\Leftrightarrow f(1)=e$ και με όπου

το

στην (1) έχουμε ${{e}^{f(1)}}+\ln (f(1))={{e}^{e}}+\ln (e)+c\Leftrightarrow {{e}^{e}}+1={{e}^{e}}+1+c\Leftrightarrow c=0$

Επομένως ${{e}^{f(x)}}+\ln (f(x))={{e}^{ex}}+\ln (ex),\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ ή h(f(x))=h(ex)

(3)με $h(x)={{e}^{x}}+\ln x,\,\,x>0$

που είναι συνάρτηση '1-1'

(..εύκολα γνήσια αύξουσα…) και έτσι από (3) ισοδύναμα $f(x)=ex,\,\,x>0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #3

andrewalis · #4

Θα ήθελα να θέσω ένα γενικότερο ερώτημα που έχει να κάνει με την εύρεση τύπου συνάρτησης: Αν μας δίνεται ο τύπος της f -για την ακρίβεια, αν μας δίνεται μια συνθήκη, την οποία ικανοποιεί η f και το πρώτο ερώτημα λέει "να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι η τάδε"- πόσο επιτρεπτό είναι να ξεκινήσουμε την απάντησή μας γράφοντας "Έστω ότι η f είναι η τάδε, την αντικαθιστώ στη συνθήκη που έχει δοθεί και καταλήγω σε κάτι αληθές" ;

M.S.Vovos · #5

andrewalis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 11:14 am
Θα ήθελα να θέσω ένα γενικότερο ερώτημα που έχει να κάνει με την εύρεση τύπου συνάρτησης: Αν μας δίνεται ο τύπος της f -για την ακρίβεια, αν μας δίνεται μια συνθήκη, την οποία ικανοποιεί η f και το πρώτο ερώτημα λέει "να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι η τάδε"- πόσο επιτρεπτό είναι να ξεκινήσουμε την απάντησή μας γράφοντας "Έστω ότι η f είναι η τάδε, την αντικαθιστώ στη συνθήκη που έχει δοθεί και καταλήγω σε κάτι αληθές" ;

Θεωρώ ότι η ερώτηση που κάνεις είναι συνηθισμένη (τουλάχιστον εγώ την έχω ακούσει αρκετές φορές από παιδιά). Ας πάρουμε ως άσκηση την παραπάνω. Έστω λοιπόν ότι εσύ βλέπεις με το μάτι ότι η συνάρτηση f(x)=ex

επαληθεύει τη δοθείσα σχέση. Και ρωτώ εγώ τώρα. Είναι η μοναδική συνάρτηση; Αν και δεν έχει αναφερθεί καθόλου από τα σχολικά βιβλία στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση μιλάμε για μια αμφίδρομη σχέση. Όταν λοιπόν σου ζητείται κάτι τέτοιο θα πρέπει να αποδείξεις ότι αν ισχύει η συνθήκη τότε βρίσκω αυτή την f και αντίστροφα αν η f είναι αυτή τότε επαληθεύει την δοθείσα σχέση.

andrewalis · #6

Δεν μιλάω για το σενάριο, όπου μας ζητάνε να βρούμε την f χωρίς να δίνεται ο τύπος της. Εκεί, συμφωνώ: Μπορεί να... μαντέψω ότι η f είναι η τάδε, αλλά να υπάρχει και άλλος τύπος που να είναι εξίσου αληθής. Εγώ αναφέρομαι στην περίπτωση που υπάρχει μια δεδομένη σχέση για την f, και στο πρώτο ερώτημα δίνεται ένας συγκεκριμένος τύπος, τον οποίο εμείς πρέπει να αποδείξουμε ως αληθή. Π.χ. Δίνεται ότι (f(x)+x))(f'(x)+1)=4x. Α' ερώτημα: Να δείξετε ότι f(x) = √(4x2+1) - x. Αν ξεκινήσουμε την απάντηση, γράφοντας "Έστω ότι η f είναι αυτή που μου δίνεις. Αντικαθιστώ στη σχέση που έχει δοθεί και καταλήγω σε κάτι που, όντως, ισχύει", αυτό θα γίνει δεκτό ως τρόπος λύσης ή όχι;

M.S.Vovos · #7

andrewalis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 1:19 pm
Δεν μιλάω για το σενάριο, όπου μας ζητάνε να βρούμε την f χωρίς να δίνεται ο τύπος της. Εκεί, συμφωνώ: Μπορεί να... μαντέψω ότι η f είναι η τάδε, αλλά να υπάρχει και άλλος τύπος που να είναι εξίσου αληθής. Εγώ αναφέρομαι στην περίπτωση που υπάρχει μια δεδομένη σχέση για την f, και στο πρώτο ερώτημα δίνεται ένας συγκεκριμένος τύπος, τον οποίο εμείς πρέπει να αποδείξουμε ως αληθή. Π.χ. Δίνεται ότι (f(x)+x))(f'(x)+1)=4x. Α' ερώτημα: Να δείξετε ότι f(x) = √(4x2+1) - x. Αν ξεκινήσουμε την απάντηση, γράφοντας "Έστω ότι η f είναι αυτή που μου δίνεις. Αντικαθιστώ στη σχέση που έχει δοθεί και καταλήγω σε κάτι που, όντως, ισχύει", αυτό θα γίνει δεκτό ως τρόπος λύσης ή όχι;

Η απάντηση είναι η ίδια που σου έγραψα παραπάνω. Πώς εξασφαλίζεις τη μοναδικότητα της συνάρτησης; Αν έγραφες αυτό που λες θα ήταν λάθος. Όταν σου λέει αποδείξτε ότι η f είναι αυτή, θα πρέπει να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει καμία άλλη f που να επαληθεύει και αυτή την δοθείσα σχέση. Να εξασφαλίσεις δηλαδή τη μοναδικότητα.

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση