Διαφορικός Λογισμός
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
-
- Δημοσιεύσεις: 63
- Εγγραφή: Σάβ Μάιος 11, 2013 3:39 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Διαφορικός Λογισμός
Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες .Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διαφορικός Λογισμός
Θέτουμε και παρατηρούμε ότι . Αρκεί να βρούμε με γιατί τότε, από το θεώρημα Rolle, υπάρχει με .
Αν η έχει ρίζες στο τότε έστω η ελάχιστη ρίζα και το ολικό ελάχιστο της αντίστοιχα. Αφού έχουμε το επιθυμητό .
Αν η δεν έχει ρίζες στο , ορίζουμε και παρατηρούμε ότι . Έτσι υπάρχει με .
Αν η έχει ρίζες στο τότε έστω η ελάχιστη ρίζα και το ολικό ελάχιστο της αντίστοιχα. Αφού έχουμε το επιθυμητό .
Αν η δεν έχει ρίζες στο , ορίζουμε και παρατηρούμε ότι . Έτσι υπάρχει με .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Διαφορικός Λογισμός
Λίγο διαφορετικα
Θέτουμε
Α) τότε η είναι παραγωγίσιμη στο και άρα υπάρχει στο και επειδή πάλι με Rolle για την στο άρα και στο προκύπτει εύκολα το ζητούμενο
Β) Να υπάρχει μοναδικό ώστε τότε η f δεν μπορεί να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του αφού και μοναδικό. Όμως τότε διότι και
άρα οπότε και πάλι με Rolle στο το ζητούμενο
Γ) η f να έχει δυο τουλάχιστον ρίζες και έστω η πρώτη και η τελευταία από αυτές( η ύπαρξη πρώτης και τελευταίας τεκμηριώνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν τουλάχιστον δυο στο και η είναι συνεχής με κοντά στο 0 και στο 1)
Τότε θα ισχύουν για , κοντά στο και για , κοντά στο
Με τον ορισμό της παραγώγου (ως πλευρικό όριο τώρα) βλέπουμε ότι θα είναι
Αλλά τότε .Αρα από το θεώρημα Bolzano θα υπάρχειστο Rolle και πάλι για την στοδίνει το ζητούμενο.
Θέτουμε
Α) τότε η είναι παραγωγίσιμη στο και άρα υπάρχει στο και επειδή πάλι με Rolle για την στο άρα και στο προκύπτει εύκολα το ζητούμενο
Β) Να υπάρχει μοναδικό ώστε τότε η f δεν μπορεί να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του αφού και μοναδικό. Όμως τότε διότι και
άρα οπότε και πάλι με Rolle στο το ζητούμενο
Γ) η f να έχει δυο τουλάχιστον ρίζες και έστω η πρώτη και η τελευταία από αυτές( η ύπαρξη πρώτης και τελευταίας τεκμηριώνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν τουλάχιστον δυο στο και η είναι συνεχής με κοντά στο 0 και στο 1)
Τότε θα ισχύουν για , κοντά στο και για , κοντά στο
Με τον ορισμό της παραγώγου (ως πλευρικό όριο τώρα) βλέπουμε ότι θα είναι
Αλλά τότε .Αρα από το θεώρημα Bolzano θα υπάρχειστο Rolle και πάλι για την στοδίνει το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες